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利用勾股定理求解平行線間線段和的最小值是初二數學的重要題型，本文就例題詳細解析這類題型的輔助線作法和解題方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。
例題
如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB的長度是面積為120的正方形邊長的長度，試在直線a上找一點M，在直線b上找 一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，求AM+NB的值。
解題過程：
過A點作AC⊥a，交直線a於點E，取AC=4，在直線b上取一點N，連接CN、BN，過N作MN⊥a，交直線a於點M，連接AM
根據平行線的判定和題目中的條件：垂直於同一直線的兩直線平行，AC⊥a，MN⊥a，則AC∥MN；
根據平行線間的距離、題目中的條件和結論：a∥b，MN⊥a，則MN是直線a，b之間的距離；
根據題目中的條件和結論：直線a與b之間的距離為4，MN是直線a，b之間的距離，則MN=4；
根據題目中的條件和結論：MN=4，AC=4，則MN=AC；
根據平行四邊形的判定和結論：一組對邊平行且相等，AC∥MN，MN=AC，則四邊形ACNM為平行四邊形；
根據平行四邊形的性質和結論：平行四邊形的對邊相等，四邊形ACNM為平行四邊形，則AM=CN；
根據結論：AM=CN，MN=4，則AM+MN+NB=CN+MN+NB=CN+NB+4；
當C、N、B三點在一條直線上時，AM+MN+NB取到最小值
過點B作BD⊥AC，交AC的延長線於點D，交直線b於點F
過點B作BD⊥AC，交AC的延長線於點D，AC的延長線交直線b於點F
根據題目中的條件：AC⊥a，則AE是點A到直線a的距離；
根據題目中的條件和結論：點A到直線a的距離為2，AE是點A到直線a的距離，則AE=2；
根據題目中的條件和結論：AC=4，AE=2，則CE=AC-AE=2；
根據平行線間的距離、題目中的條件和結論：a∥b，EF⊥a，則EF是直線a，b之間的距離；
根據題目中的條件和結論：直線a與b之間的距離為4，EF是直線a，b之間的距離，則EF=4；
根據結論：EF=4，CE=2，則CF=EF-CE=2；
根據平行線的推論和題目中的條件：一條直線垂直於兩條平行線中的一條，則它垂直於另一條，a∥b，AC⊥a，則AC⊥b；
根據題目中的條件：BD⊥AC，AC⊥b，則BD∥b；
根據平行線的性質和結論：平行線間的距離處處相等，BD∥b，AC⊥b，則點B、D到直線b的距離相等，即DF=點B到直線b的距離；
根據題目中的條件和結論：點B到直線b的距離為3，BD=點B到直線b的距離，則BD=3；
根據結論：CF=2，DF=3，則CD=CF+DF=5；
根據結論：AE=2，EF=4，DF=3，則AD=AE+EF+DF=9；
根據正方形面積計算公式和題目中的條件：AB的長度是面積為120的正方形邊長的長度，則AB^2=120；
根據勾股定理和結論：BD⊥AC，BD^2+AD^2=AB^2，AD=9，AB^2=120，則BD^2=39；
根據勾股定理和結論：BD⊥AC，BD^2+CD^2=BC^2，BD^2=39，CD=5，則BC=8；
根據題目中的條件和結論：BC=CN+NB，BC=8，則CN+NB=8；
根據結論：AM+NB=CN+NB，CN+NB=8，則AM+NB=8。
結語
求解平行線間線段和的最小值的關鍵步驟是將兩條線段轉換到一起，根據兩間線段最短，找到符合條件的動點位置，再構造出直角三角形，利用勾股定理進行求解，就能得到題目需要的值。