通過同一條線段,藉助勾股定理與方程思想,求解未知線段長度

2020-12-10 勤十二談數學

我們在求解線段長度時，可以利用勾股定理，但是有些題目無法直接使用勾股定理，因為一個直角三角形中可能有兩條邊未知。那麼，此時我們可能需要通過同一條線段，將此線段放在兩個直角三角形中，藉助勾股定理與方程思想，列出方程式，求解未知線段的長度。

例題1：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB於A，CB⊥AB於B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？

分析：由「現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等」可知：DE=CE，兩個三角形是直角三角形，但是只有兩個條件，無法證明兩個三角形全等。那麼如何使用DE=CE呢？可以藉助方程思想與勾股定理解決問題。設出AE的長，可將DE和CE的長表示出來，列出等式進行求解即可。

求出EA的長度後，可以證明兩個三角形全等，從而得到∠DEC=90°，如果連接CD，那麼△CDE為等腰直角三角形。所以這個圖形看起來像「K」型圖，但其實並不是。

所以解題時要看清楚題目所給的條件，不要看起來像我們熟悉的模型圖，就直接使用。

例題2：已知：如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點D在BC上，DA⊥CA於A．求：BD的長．

分析：先根據勾股定理求出AE=6，設BD=x，則DE=8-x，DC=16-x，在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD^2=AE^2+DE^2=DC^2-AC^2，繼而代入求出x的值即可．

本題藉助線段AD，線段AD既在直角△ADE中，又在直角△ADC中，利用勾股定理表示出線段AD的長度，從而得到關於BD的兩個方程。

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