勾股定理被被譽為千古第一定理，是「幾何學的基石和明珠」，也是相關考試中的重點考查內容之一，勾股定理除了可以解決「已知直角三角形的兩條邊長，求第三邊」外，在求解摺疊、切線、特殊四邊形計算等問題時，也常會出現直角三角形及其邊長的一些數量關係，此時可結合題意，藉助相關概念及圖形性質，找到或者構造出各邊之間存在著某些數量關係的直角三角形，從而利用勾股定理列出方程求解.下面對這類問題進行歸類整理.
一、已知三角形的一條邊長，及另兩邊的數量關係
這類問題關鍵是首先要找到或構造出這樣的一個直角三角形，利用全等、等腰三角形、切線等性質確定其中兩邊的數量關係.那麼，這兩條邊都可以用含同一個字母的代數式表示，然後利用勾股定理列出方程，求解即可.
1、利用全等的性質建立數量關係
例1 (2015年泰州中考題)如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將⊿ABP沿BP翻折至⊿EBP，PE與CD相交於點O，且OE=OD，則AP的長為＿.
分析 根據OE=OD，可以證明⊿ODP≌⊿OEG，從而得到EG=DP,EP=DG.若設AP=x，則CG、BG
可以用含x的代數式表示.在RT⊿BCG中，BC的長已知，利用勾股定理列出方程求解即可.
2、利用等腰三角形性質建立數量關係
例2 (2017年哈爾濱中考題)如圖2，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連結AM，過點D作DE⊥AM，垂足為E.若DE=DC=1,AE=2EM，則BM的長為＿.
分析 已知點D到∠AMC兩邊的距離相等，連結DM，可證明EM=CM，DM平分∠AMC，結合
AD∥BC，由「兩平」可得到⊿ADM是等腰三角形.若設EM=X，則AM,BM可以用含x的代數式表示.在⊿ABM中，AB的長已知，利用勾股定理列出方程求解即可.
3、利用切線的性質建立數量關係
例3 (2015年寧波中考題)如圖3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過點A，D兩點的
⊙O與BC邊相切於點E，則⊙O的半徑為＿.
分析 根據切線的性質，連結OE，則OE⊥，結合AD∥，反向延長OE交AD於點F，則OF⊥AD.若連結OA，在RT⊿OAF中，AF的長已知，OF、OA的長可以用含r的代數式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.
二、一個直角三角形的三條邊可以用含同一個未知數的代數式表示
這類問題與第一類類似，關鍵是要結合題目的條件，利用摺疊、相似等性質，找到或者構造這樣的一個直角三角形，將三邊用含同一個字母的代數式表示，然後利用勾股定理列出方程，求解即可.
1、利用摺疊建立數量關係
例4 (2018年杭州中考題)如圖4，摺疊矩形紙片ABCD時，發現可以進行如下操作:①把⊿ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，摺痕為DE，點E在AB邊上;②把紙片展開並鋪平，得到正方形AEFD;③把⊿CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，摺痕為DG，點G在BC邊上.若AB=AD+2，EH=1，則AD=＿.
分析若設AD=X，由摺疊可知DH=DC=X=2，AH=AE-HE=X-1.在RT⊿ADH中，三條邊長可以用含X的代數式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.
2、利用相似建立數量關係
例5 (2017年濰坊中考題)如圖5，將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對摺，使點
B落在AD邊上，記為B，摺痕為CE;再將CD邊斜向下對摺，使點D落在BC邊上，記為D，摺痕為CG，BD=2，BE=BC，矩形紙片ABCD的面積為＿.
分析 由摺疊，可知∠EBC=∠B=90°.根據「一線三垂足」模型，易證⊿AEB:⊿DBC，且相似比為.在RT⊿AEB中，若設BE=X，則三邊都可以用含X的代數式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.
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