勾股數在幾何壓軸題中的運用
在八年級學習勾股定理時，我們都接觸到一類勾股數，即滿足a+b=c的一組正整數，例如勾三股四弦五，即3，4，5，或者它的倍數，3k，4k，5k，如果有一類這樣的直角三角形，那麼它們的三邊之比滿足3：4：5，即知道其中一條邊，即可求出另外兩條邊長。於是在幾何壓軸題中，如果存在這樣的特殊邊長的直角三角形，利用這個比例，可極大減少計算量。
題目
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15，點P從點A出發，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動。當點P不與點A，C重合時，過點P作PN⊥AB於點N，連結PQ，以PN、PQ為邊作平行四邊形PQMN，設平行四邊形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t秒。
(1)①AB的長為____________; ②PN的長用含t的代數式表示為_______________.
(2)當平行四邊形PQMN為矩形時，求t的值；
(3)當平行四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，求S與t的函數關係式；
(4)當過點P且平行於BC的直線經過平行四邊形PQMN一邊的中點時，直接寫出t的值。
解析：
(1)①典型的勾股數3k，4k，5k，由勾股定理求出AB=25；
②△APN的三邊之比為3：4：5，於是AP=5t，PN=3t，AN=4t；不僅解決本小題，同時也為後續解題作好準備。不妨把這些準備工作都一併做好，PC=20-5t，CQ=5t，BQ=15-5t。
(2)解讀平行四邊形PQMN為矩形的意義，PN⊥AB，一旦它是矩形，則PQ⊥PN，即PQ∥AB，如下圖：
因此對於△CPQ來講，它與△ABC相似，因此它的三邊之比也為3：4：5，因此在前面準備工作中找到PC和CQ，列方程為(20-5t):5t=4:3，解得t=12/7；
(3)隨著點P向終點C接近，重疊部分的面積不斷發生變化，可在草稿紙上多作幾次圖，從而直觀了解有幾種情況，以彌補想像力，如下圖：
總共有三種變化，當點Ｍ到達AB之前，是平行四邊形，點M到達AB後是梯形，點Q到達點B後，是三角形。我們需要求的，是前兩種。
其實在上一小題中，我們已經知道了PQ∥AB時，t=12/7，因此第一種形狀的範圍是0<t≤12/7，如下圖：
圖中邊長比為3：4：5的△BQD中，BQ=15-5t，於是分別求得DQ=12-4t，BD=9-3t，再加上AN已求，所以DN=25-(9-3t)-4t=16-t，平行四邊形面積為PN×DN，S=3t(16-t)=-3t+48t
(0<t≤12/7)；
第二種形狀的範圍是12/7<t≤3，如下圖：
圖中QE和上一種情形的QD相同，QE=12-4t，而EN和上一種情形的DN相同，EN=16-t，利用梯形面積公式，S=1/2×(PN+QE)×EN，得S=1/2(3t+12-4t)(16-t)=1/2t-14t+96，(12/7<t≤3)；
(4)利用前一小題所作的草稿圖，可以嘗試過點P作BC的平行線，有兩種情況，經過MN中點或QM中點，不可能經過PN中點，而經過PQ中點時，P與C重合，不符合題意。
第一種情況，經過MN中點，如下圖：
過MN中點E作EH⊥AB，這樣構造出一個新的三邊比為3：4：5的Rt△EGH，其中EH=1/2DM，而DM=12-4t-37=12-7t，因此EH=6-7t/2，同樣Rt△PNG也是三邊比為3：4：5的三角形，所以NG=9t/4，而NH=1/2DN=8-t/2，所以得到GH=8-t/2-9t/4=8-11t/2，現在可以列方程為(8-11t/2):(6-7t/2)=3:4，解得t=100/43；
第二種情況，經過QM中點F，如下圖：
延長MQ、AB，相交於點H，這樣構造出兩個新的三邊比為3：4：5的Rt△FGH和Rt△BQH，BQ=5t-15，於是QH=4t-12，BH=3t-9，而FQ=1/2QM=3t/2，所以FH=3t/2+4t-12=11t/2-12，同時GH=AH-AG=25+3t-9-25t/4=16-13t/4，於是列方程為(16-13t/4):(11t/2-12)=3:4，解得t=200/59。
解題反思：
一個三邊比為3：4：5的直角三角形，便可打通全場，相比之下，相似和三角函數用起來就麻煩多了。這也從另外一個角度說明，基本圖形的使用對於減輕解題負擔有多麼重要。如何快速準確地找到幾何題中的基本圖形，是需要平時不輟練習與思考的，很多學生做到了前者，往往忽視了後者，事實證明，不進行思考的解題，是白費時間。