中考數學專題系列三十四:勾股定理在摺疊問題中的應用

2020-12-12 百家號

中考數學專題系列三十四：勾股定理在摺疊問題中的應用

作者 卜凡

初中數學中，有關摺疊的問題也是相對比較難的問題，主要涉及求角的度數、求線段的長度、求周長、面積等，其中求線段的長度的問題必然用到勾股定理，而這也正是孩子們感覺到困難的地方，不知道藉助哪個直角三角形運用勾股定理解決。下面藉助例題和大家介紹這類題型的解題思路和方法。

例題1、如圖,在三角形紙片ABC中,∠C=90°,AC=18,將∠A沿DE摺疊,使點A與點B重合,摺痕和AC交於點E,BC=12,則EC的長為多少？

分析：此題中共有4個直角三角形，分別是RT△ADE、RT△BDE、RT△BCE、RT△ACB，這4個直角三角形中，究竟選擇哪個直角三角形解決問題呢？我們先把摺疊前後的兩個圖形陰影，則剩下的空白直角三角形就是我們要選擇的直角三角形。比如此題剩下的空白三角形就是RT△BCE，解決問題時就利用RT△BCE解決。在RT△BCE中，BC=12，BE、EC未知，但BE+EC=AE+EC=AC=18，所以可設EC為x，則BE=18-x，根據勾股定理得到x+ 12=(18-x) ,解這個方程得到x=5，所以EC的長為5。

先把摺痕加以改變，是不是還運用RT△BCE解決問題呢？例題2、如圖,在三角形紙片ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5，將直角邊BC沿BE摺疊,使它落在斜邊AB上且與BD重合,摺痕和AC交於點E,則EC的長為多少？

分析：此題中還是共有4個直角三角形，分別是RT△ADE、RT△BDE、RT△BCE、RT△ACB，與例題1一樣，我們先把摺疊前後的兩個圖形陰影，這樣就分別陰影了RT△BDE、RT△BCE，則剩下的空白直角三角形RT△ADE就是我們要選擇的直角三角形。在RT△ADE中，AD可求，為8，AE、DE的和為12，所以可設DE為x，則AE=12-x，根據勾股定理得到x+8=(12-x) ,解這個方程得到x=10/3，所以DE的長為10/3，又根據摺疊知道DE=EC，所以EC的長為10/3。

通過兩個簡單的例題想必大家已經明白了應該選擇哪個直角三角形解決問題了吧？那就是先把摺疊前後的兩個圖形陰影，從剩下的空白圖形中找直角三角形，所找到的直角三角形就是解決問題所用的直角三角形。下面不妨運用一下此解題思路和方法。

練習、如圖，矩形ABCD沿著直線BD摺疊，使點C落在C′處，BC′交AD於點E，AD=8，AB=4，則DE的長為多少？

分析：先把摺疊前後的兩個圖形△BCD和△BCD陰影，結果發現在左上角有一空白直角三角形△ABE，最後肯定是利用此三角形的三邊關係，即勾股定理解決問題。在RT△ABE中，AB=4，AE、BE未知，如果AE、BE有關係，也能使問題解決。由已知摺疊可得到∠CBD=∠CBD，矩形ABCD可得到AD∥BC，所以∠CBD=∠ADB，所以∠CBD=∠ADB，所以BE=DE，所以AE+BE=AE+DE=AD=8，所以，若設DE=x,則AE=8-x,所以，根據勾股定理得到（8-x）+4=x，解這個方程得x=5，所以DE的長為5.

我們發現，解題思路和方法是關鍵，只要有了正確的思路和方法，把幾何問題轉化成方程即可使問題解決。現在的你解題思路清晰了嗎

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