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等差數列
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，那麼這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.
等差數列的基本公式通項公式an=a1+(n-1)d ，注意：等差數列求和公式
即 第n項=首項+(n-1)×公差（n是項數）
前n項和公式（相當於n個等差中項之和）.
注意：n是正整數
等差數列前n項求和，實際就是梯形公式的妙用：
上底為a1（首項），下底為a1+(n-1)d,高為n，即
推論一、從通項公式可以看出，an是n的一次函數(d≠0)或常數函數(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，Sn是n的二次函數(d≠0)或一次函數(d=0，a1≠0)，且常數項為0.
二、從等差數列的定義、通項公式、前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(類似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，
k∈{1,2,…,n}.
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq.
若m+n=2p,則am+an=2ap.
等差中項等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半，但求等差中項不一定要知道頭尾兩項.
在等差數列中，等差中項一般設為Ar.當Am,Ar,An成等差數列時，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項，且為數列的平均數，並且可以推知n+m=2r，且任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d，類似地pn=pm+(n-m)d，相當容易證明.
它可以看作等差數列廣義的通項公式.
等差數列常應用於日常生活中，如在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級.
其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：
今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?
書中的解法是：並初、末日織布數，半之，餘以乘織訖日數，即得。
這相當於給出了Sn=的求和公式.
等差數列的基本性質r次等差數列為什麼在等差數列的學習中對公差和首項特別地關注？因為公差和首項可以作為等差數列一切變化的切入點.當我們有更好的切入點後，我們可以毫不猶豫地拋棄公差和首項.
假設一個基向量En(x)=[1,x,x2,…,xk]，轉換矩陣A為k+1階方陣，b=[b0,b1,b2,…,bk].b同En的長度一樣為k+1，b′表示b的轉置。當k=1時，我們可以稱為一次數列；當k=r時，我們可以稱為r次數列(x,k只能取自然數).
p(x)=En(x)·b′.
s(x)=x·En(x)·A·b′.
m+n=p+q（m，n，p，q∈N*)，則am+an=ap+aq.
一次等差數列的性質1.p1(x),p2(x)均為一次等差數列，則p1(x)±p2(x)與c·p1(x)±p2(x)(c為非零常數)也是一次等差數列.p(x)是一次函數，(n,p(x))構成直線.
2.pm-pn=En(m)·b′-En(n)·b′=(En(m)-En(n))·b′=（0,m-n）·b′.
3.m+n=p+q⇒pp+pq=pm+pn
(證明:m+n=p+q⇒En(m)+En(n)=En(p)+En(q).
pm+pn=En(m)·b′+En(n)·b′=(En(m)+En(n))·b′
pp+pq=(En(p)+En(q))·b′=(En(m)+En(n))·b′=pm+pn）.
4.從p(x)=En(x)·b′中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是一次等差數列，其一次項係數為k·b1( k為取出項數之差)，常數項係數未知.
5.在一次等差數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的平均數．
6.當一次項係數b1>0時，數列中的數隨項數的增大而增大；當b1<0時，數列中的數隨項數的減小而減小；b1=0時，數列中的數等於一個常數.
等差數列的判定1.an+1-an=d (d為常數，n∈N*）[或an-an-1=d（n∈N*，n≥2,d是常數）]等價於{an}成等差數列.
2.2an+1=an+an+2（n∈N*），等價於{an}成等差數列.
3.an=kn+b（k，b為常數,n∈N*），等價於{an}成等差數列.
4.Sn=an2+bn（a，b為常數，a不為0，n∈N*），等價於{an}為等差數列.
等差數列前n項和公式Sn的基本性質（1）數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和Sn可以寫成Sn= an2 + bn的形式(其中a，b為常數)．
（2）在等差數列中，當項數為2n (n∈N*)時，S偶-S奇 =nd， S奇÷S偶=an÷an+1；當項數為(2n－1）(n∈N*)時，S奇-S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷（n-1）．
（3）若數列為等差數列，則Sn，S2n－Sn ，S3n－S2n，…，仍然成等差數列，公差為n2d．
（4）在等差數列中，Sn=a，Sm=b(n>m)，則Sn-m= (1+)a-3b．
（5）從函數的角度看等差數列的通項公式.由等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），當d≠0時，an是關於n的一次函數.
（6）記等差數列的前n項和為Sn．①若a1>0，公差d<0，則當an≥0且an+d ≤0時，Sn有最大值；②若a1<0 ，公差d>0，則當an≤0且an+d≥0時，Sn有最小值．
（7）若等差數列Sp=q,Sq=p,則Sp+q=-(p+q).
等差數列的特殊性質在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，並且等於首末兩項之和.特別地，若項數為奇數，還等於中間項的2倍,
即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中
例：
在數列1，3，5，7，9，11中，
a1+a6=12 ; a2+a5=12 ; a3+a4=12;即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，並且等於首末兩項之和.
在等差數列1，3，5，7，9中，
即，若項數為奇數，與首末兩項距離相等的兩項和等於中間項的2倍.另見，等差中項.
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