怎麼理解互相關函數?

為了說明互相關函數，一個聲源位置如下所述：假設在兩個麥克風之間有一個聲源，距離未知。互相關函數和類似傳遞函數方法用於去確定該聲源的位置。

這個聲源為具有高斯分布的寬度噪聲，並對這個信號從500到1500Hz進行帶通處理，對這個隨機噪聲信號s(t)，以10000s/s的速率進行採樣（第一個s表示採樣點）。在兩個麥克風位置生成兩個信號，分別為p1(t)和p2(t)。假設噪聲的傳播速度為340m/s，從聲源到p1，通過忽略前250個數據點確定產生了25ms的信號延遲，而到p2，相似地忽略前140個數據點確定產生了14ms的信號延遲。為了描述聲源的擴散和其他特定路徑的影響，生成了兩個不相關的高斯寬帶噪聲信號，n1(t)和 n2(t)，其能量為原來信號總能量的20%。在兩個麥克風位置形成的信號分別為

x1(t)=p1(t)+n1(t)

x2(t)=p2(t)+n2(t)

這兩個信號如圖1所示。

圖1 兩個麥克風的時域信號

用x1作為參考，計算x2與x1的互相關函數，從圖上可以看出，在-11ms位置有峰值，如圖2所示。

圖2 用x1作為參考，計算互相關函數

兩個麥克風的距離是11.88米，-11ms的延遲表徵的距離為3.36米。因此，如果我們假設聲源離1號麥克風的距離為d1，距2號麥克風的距離為d2，那麼我們有

d1+d2=11.88

d2-d1=-3.36

求解以上兩個方程，得到d2=4.26，d1=7.62，與實際情況相同。

注意，如果用x2作參考，計算互相關函數，那麼延遲時間為11ms，如圖3所示。

圖3 用x2作為參考，計算互相關函數

這種情況下，我們有

d1+d2=11.88

d1-d2=3.36

求解以上兩個方程，得到d1=7.62，d2=4.26。

另一種可選方法是在兩個麥克風響應之間採用類型傳遞函數的方法。這不是嚴格意義上的傳遞函數，因為傳遞函數是響應與激勵之比（其實是傳遞率）。然而延遲信息仍然包含在這個信號中。這個傳遞函數定義如下 

 

下面的圖給出了了這兩個信號的自譜、互譜，傳遞函數（傳遞率），相干函數和脈衝響應函數。

圖4 x1的自譜

圖5 x2的自譜

上面兩圖中顯示的自譜非常相似，但差異也可識別。不相關聲源的寬帶特徵在62dB附近很明顯。互譜和傳遞函數也非常相似，如下圖所示。

圖6 用x2作為參考的互譜

圖7 用x1作為參考的傳遞函數

出於參考目的，同時也給出了相干函數。

圖8 相干函數

從相干曲線上可以看出，位於有效帶寬之外的相干係數本質上是零。相干表明位於500-1500Hz之間的信號是相關的，而該區間之外的信號相關性很小或者沒有關係。

最終，脈衝響應函數通過傳遞函數的傅立葉逆變換得到，可以得到時間延遲信息。

圖9 脈衝響應函數

峰值在零時刻之間，因而揭示時間延遲是-11ms。如果我們只是對互譜作傅立葉逆變換，只能得到互相關函數。除以輸入的自譜是有用的，因為它有效地正則化了數據。另一個有用的方案是將互譜乘以相干，因為這樣可以有效地消除不相關的部分。這在這裡是不必要的，因為信號已有足夠的信噪比。

圖10 局部放大脈衝響應函數

註：翻譯自http://blog.prosig.com/2001/06/06/correlation-example/