大學所學的數學方法不只是一種工具，還應該是對自然規律、物理現象的歸納與概括，更應該是一種對科學思維的訓練。但是對於物理教師來說，將數學方法融入物理教學中並不是一件容易的事。要想實現數學方法助益於物理教學的目的，需要搞清楚物理學中的數學與純數學的不同、學生學習數學和物理的認知過程，需要在教學過程中幫助學生學會數學方法在物理學中的意義建構，從而將數學方法合理地融入而非簡單地加入進物理教學中。
1 物理學中的數學不同於純數學案例1：調查對象：大學一年級第二學期數學和物理學專業本科生；調查方式：問卷調查。
問題：請根據函數E(x,y,z)=1/(4πε0)·Q/(x2+y2+z2)給出E(r,θ,φ)的表達式。
我們發現，物理學專業的很多學生會直接給出E=1/(4πε 0)·Q/r2(A同學)；對於數學專業的學生，有人會給出E=1/(4πε 0)·Q/[(r sinθ cosφ)2+ (rsinθ sinφ)2+(rcosθ)2]=1/(4πε0)·Q/r2(B同學)，也有同學會給出E=1/(4πε0)·Q/(r2+θ2+φ2)(C同學)。儘管A同學和B同學得到的最終結果是一樣的，但經過詢問得知，A同學認為，題目中的公式可以理解為位於坐標原點位置處點電荷Q在空間某位置電場強度E的計算公式，E只與距離r有關。
該案例說明，物理學專業的學生在解決問題時通常賦予數學符號於物理意義，看到公式後認為E和Q分別表示電場強度和電荷量，所以會直接給出E和r的物理關係；數學專業的B同學在解決問題時採用的是邏輯推斷，想到的是直角坐標系與球坐標系之間的對應關係，通過坐標變換得到E和r的數學關係；數學專業的C同學認為x,y,z以及r,θ,φ均為虛擬變量，是互相獨立的、不具有任何物理意義的數學變量，所以會在函數關係中直接進行數學符號的替換。
除了對數學字母或符號的認識不同，數學和物理在正負號的分析上也會大不一樣。在實數範圍內，數學中一般認為正數大於負數，但是在不同的物理問題中正負號有著不同的物理意義，而不是用來表示數值大小，例如，力、位移、電場強度等物理矢量，其正負號的變化僅意味著它們的方向與事先選定的坐標軸正方向相同或相反；在熱量前面加正負號是為了區分一個熱力學系統從外界吸收熱量還是向外界釋放熱量；在法拉第電磁感應定律ε=-dΦ/dt中，負號表示感應電動勢ε總是與磁通量Φ變化的方向相反等。
此外，數學學習者與物理學習者還會對函數的概念及其表示方式存在差異。比如，在數學中z=xy說明y與x成反比，y與z成正比；然而在物理學中F=qE的函數關係中，電場強度E是由電場本身的性質所決定的，與試探電荷q無關，所以不能認為E與q成反比、E與F成正比；又比如彈簧的彈力F和彈簧的形變量x成正比，即F=-kx，但k是彈簧的勁度係數，只由材料的性質所決定，不與x成反比；類似的還有物質的吸熱量Q與比熱容c之間的函數關係Q=cmΔT、導體兩端的電壓U與電阻R之間的關係U=IR，c與R均由物質本身的性質所決定，與其他變量無關。如果我們在等號左側加上括號和自變量，比如Q(m,ΔT)=cmΔT，那麼數學學習者也會認識到c與其他變量無關，但在物理表述中，我們並不需要這麼麻煩。
這些簡單的實例說明，數學方法在物理學的運用中通常被賦予了特定的物理意義，從而助益於物理的表述與計算。但這並不意味著物理學習者就一定能看到數學符號所隱含的物理意義，如上文提到的部分物理學專業的學生不清楚行列式與矩陣在物理學中有何應用。
2 數學方法在物理學中的意義建構意義建構是學習過程的最終目標[3]。數學方法在物理學中的意義建構就是要幫助學生對所學習的數學方法與物理現象、自然規律之間的內在聯繫達到較深刻的理解。數學能夠簡潔準確地表達物理概念與規律說明其為物理的一種語言，「如何運用數學語言在物理學中建構物理意義」好比人們「如何通過生活語言在人類活動中發現認知規律」。興起於20世紀末的認知語義學在研究語言和人類認知世界之間的關係時提出了具身體驗、百科觀、語境等認知機制[4]，通過大學物理的教學與研究，我們發現，語言和人類認知世界之間的這些認知機制可以很好地映合到數學和物理規律認知的過程之中。
2.1 具身體驗具身體驗強調通過身體結構、活動方式及其與環境的互動體驗而形成認知[5]。語言中的「喜」「怒」「哀」「樂」可以通過人體的面部表情來認知，嬰幼兒可以通過觀察、觸摸實物等方式來認識「皮球」「水」「水杯」等語義。通過具身體驗在物理學中認知數學方法的物理意義，我們主要強調數學和物理之間的推理與類比，它不同於物理實驗。通過物理實驗活動認知物理現象，強調的是具身體驗在物理科學與自然世界之間的相互作用。
在案例1中，如果讓A同學按照B同學的方法進行數學推導，A同學會認識到直角坐標系與球面坐標系之間的轉換在物理學中的應用，並能得到數學上sin2θ cos2 φ+sin2θ sin2 φ+cos2θ=1的結論。對數學中的等差數列與物理中的勻變速直線運動進行類比，如表1所示，我們可以認知到，勻變速直線運動中，相鄰的相等時間段的末速度成等差數列，其中加速度a映射到公差d，時間t與項數n的區別在於t∈[0, +∞)而n取正整數，t時間內的位移對應等差級數的部分和，且級數(即t→+∞時的位移S)發散。這就從具身體驗中建構了等差數列「語言」在物理學中的意義與應用，且益於增進學生對相關概念、公式和規律的邏輯記憶。
2.2 百科觀認知語言學家Evans和Green明確提出意義表徵具有百科性[4]。語義根植於語言使用者的百科知識體系中，應從使用者的認知結構、社會-文化背景知識等方面進行多維描述；反之，語義的理解也取決於語言接受者的認知結構、背景知識等[6]。同理，數學方法的意義建構根植於數學「語言」使用者或接受者的百科體系中，使用者或接受者的認知結構、社會-文化背景知識等方面的差異可能會令使用者或接受者為數學「語言」建構不同的物理意義，且建構過程是一個百科知識動態應用的過程。在下面的案例中，我們可以看到，對於同一個物理問題，不同的學生會採用不同的數學「語言」進行思考解答，反映出學生們認知結構、背景知識的差異性和百科性。
案例2：調查對象：剛修完大學一年級第一學期課程的物理學專業本科生；調查方式：問答。
問題：質量為M的物體在水平方向上與勁度係數為k的彈簧組成振子，以M的自然平衡位置O為坐標軸原點，若物體M在水平方向由原點移動至x位置處，如何求彈力對M做的功W？
A同學：彈力F=kx，F對形變量x的平均值為位移為x，所以
B同學：首先需要外力對這個系統做功，物體的機械能不變，外力做的功轉化為彈簧的彈性勢能，外力拉物體，對物體做功，彈簧又對物體做負功，彈簧對物體做的功的負值就等於外力做的功，外力做的功的值等於彈簧的彈性勢能，等於1/2kx2。
C同學：彈力F=kx，那麼W=Fx= kx2。但是M初始狀態是在平衡位置，要想移動至x位置應該還得有拉力，看題意摩擦力應該是被忽略的，這樣解好像有點簡單了，所以我不太敢確定。(停頓)Ma=kx，W=1/2Mv2這樣解出來是總的功，老師我覺得我還得再想想，或者老師能不能給些提示？(老師：考慮力和力的方向上的位移，拉力與解題無關，想一下高等數學裡的積分。)F=kx，W=力對位移的積分=1/2kx2。
D同學： W=Fs，因為彈力F=kx是變力，所以需要積分，所以老師，是這樣嗎？(老師：彈力是-kx，微位移是dx，所以積分公式裡是不是多了些什麼？)負號？(老師：那是公式裡缺少的，多了什麼？)x？顯然，我對積分還不太理解。
E同學：可不可以直接用F-x圖像，求面積就是做的功呀？(停頓)結果是1/2kx2？(老師：這麼不自信？怎麼求的？)(學生給出了下面的示意圖，並問到：「我感覺這樣也太容易就算出來了呀，所以，我對了嗎？」)(老師：少了一個符號。)啥符號？(老師：負號。)對呦，負功。
從該案例中我們可以看出，A同學和B同學用到了高中物理中學到的彈性勢能的計算方法，特別是B同學的回答，我們可以看到一種動態思維過程：通過假設問題之外的一種物理過程，將「拉力」「機械能」「功轉化」等多種知識概念組織到一起推論到最終結果；C同學開始並沒有注意到F是變力，通過聯想「拉力」「摩擦力」「牛頓第二定律(Ma=kx)」「動能(W=1/2Mv2)」等零散的物理過程，甚至可能懷疑老師問的問題是不是題意不明？！D同學想到將M的位移劃分為無限多個微路程，通過積分進行求解，但顯然，D同學的積分知識學得並不紮實，認為對函數f(x)積分的算法是E同學用到了定積分的思想：函數F(x)在區間[0,x]中的曲線所包圍的面積就是定積分，即F對M做的功。但5位同學都沒有注意到數學中的負號在物理學中意義的建構：彈力對物體做負功！學生們多樣的思維模式以及對不同知識概念的融合、不同知識體系的運用體現了數學「語言」在物理學中應用的百科性。在對學生進行單獨問答後，我們讓5位學生互相交流自己的解題思路，自然地，5位學生掌握了4種解題方法(C同學在老師的引導下，最終的解題思路與D同學相同)，也彌補了自己在數學知識上的不足。2.3 語境人的大腦中儲存了大量有關認知事物的百科知識，但在特定時間、特定語境下，認知者只能想到有限的相關知識，例如，案例2中出現的各種知識概念，5位同學都學習過，但每個人想到的知識結構不同，當然，他們的知識結構並非是固定不變的，在老師的提示下，學生的知識結構會發生遷移。認知語義學認為, 在外部刺激源如何被個體所認知的過程中，語境至關重要[4]，我們認為，在物理教學過程中亦是如此。在案例2中，學生們在聯想外力時為什麼會認為是「拉力」而不是「推力」(x完全可以是負值)？如果我們將問題中的「若物體M在水平方向由原點移動至x位置處」改為「若物體M在水平方向由x位置處移動至原點」，學生們是否還一定會想到「拉力」？再假設，如果我們不問學生們問題，只簡單地給出一句陳述性描述「若物體M在水平方向由原點移動至x位置處」，學生們是否還會潛意識裡認為x是正值？這說明，不同的語境線索會使學生對數學符號「x」產生不同的物理印象，但這種印象不一定是準確的。
數學方法在物理教學中的意義建構一般會涉及到4種基本的認知資源[7,8]：(1)計算 (Calculation)：在算法上不附加任何物理解釋地進行一系列的數學計算而得到認為可信的結果。比如，老師在從d2h/dt2=-g推導出h=h0+v0t-1/2gt2的過程中可能不給學生講解其中的任何物理過程，讓學生們認為數學推導步驟是對的，所以結果也是可信的。(2)物理圖像(Physical mapping)：一個簡單的數學符號或幾何模型可以豐富地表徵物理意義。比如，彈力F=-kx中的負號可以通過一種物理圖像「彈簧回復力的方向與振子位移的方向相反」得到解釋，而無需進行任何數學上的證明。(3)權威 (Invoking authority)：通過權威性知識讓學生信服。比如，老師在講解轉動慣量的相關知識時，讓學生們直接看教材某頁的某個表格，告訴學生實心球體的轉動慣量I=2/5mR2，圓盤繞中心轉軸的轉動慣量I=1/2mR2 …。(4)數學上的一致性 (Mathematical consistency)：數學方法具有一定規律性和可信性，對於不同的物理問題，背後隱藏的數學原理可能是一致的。比如，老師在講解兩個點電荷之間的庫侖力 時，可能會提醒學生萬有引力並解釋兩者之間的相似性，通過建立某種普適的數學原理讓學生相信物理問題之間的相關性。
在對數學方法進行物理意義建構的過程中，還可能會受到學生經驗直覺和主觀情感的影響，而且在教學過程中，學生的認識論和意義建構是一個動態過程。Gupta和Elby的案例研究可以很好地說明學生的認識論和意義建構是如何受經驗直覺和情感的影響而動態變化的[9]。
案例3：老師問了工程系剛開始學習物理課程的一名學生Jim一個有關水面下壓強的問題。老師先給Jim一個表達式P=P0+ρgh，並在確認Jim沒有見過該表達式的前提下，告訴Jim P0和P分別表示水面位置處和水面下深度為h處的壓強，ρ和g分別為水的密度和重力加速度。然後讓Jim根據公式判斷水面下5m和7m位置處，哪個深度處的壓強大，或者是否相等？Jim認為，從水面向下的方向應為坐標軸的負方向，所以h值均為負數，然後，Jim就陷入了各種猶豫、困惑和難以抉擇，因為他發現數學計算的結果是水面下5m位置處的壓強比7m位置處的大，但經驗直覺又讓他難以置信。後來老師提示Jim注意g的方向，然後Jim才明白g方向向下，所以也應該取負值，最後終於茅塞頓開。在隨後的交談中，Jim告訴老師，如果是在考試中，他可能會相信數學計算的結果而不是自己的經驗直覺，因為Jim認為有時候人的直覺並不一定準確，可能會與自己所不知道的事實或者理論相悖。
圖2(a)和(b)分別總結了Jim在難以抉擇中和糾正錯誤後被激活的認知元素與思維活動。可以看出，Jim在難以抉擇中用權威知識(老師給的壓強計算公式)和數學計算建構的知識抑制住了自己從經驗直覺中建構的知識，但又感到非常的「不安」和難以置信。後來在老師的提示下，Jim的經驗直覺與計算和權威知識達到了一致，「不安」感得以消除。老師的語境線索使Jim從某一種認識論轉移到了另一種認識論。
通過上述分析我們意識到，老師在教學過程中需要學會採用合適的語境引導學生在物理學中建構數學方法的物理意義。在案例2中，為什麼高等數學中的微積分與物理學中的力學在同一個學期開設學習課程，但課程結束後，有些學生還停留在使用高中的知識處理物理問題？這說明他們仍視高中知識為「母語」而微積分為「外語」，幫助學生將高等數學轉化為大學物理中的「母語」，需要高校教師在教學過程中通過合理的語境引導學生構建高等數學在大學物理中的意義，通過熟能生巧，讓學生像「看到(x,y,z)就想到直角坐標系」一樣找到數學方法在物理學中的應用，通過語境線索豐富學生的認識論與資源框架。
3 結語本文通過分析物理學中的數學與純數學的不同，並將「數學之於物理」與「語言之於生活」進行類比發現，認知語義學在研究語言和人類認知世界之間的關係時提出的具身體驗、百科觀、語境等認知機制，可以很好地應用於分析和發現大學生學習物理的認知過程以及數學方法在融入物理教學過程中存在的問題。案例分析亦表明，目前儘管大學教學中已經開設了很多有關高等數學的課程，但很多學生並不能在學到的數學方法與物理知識之間建立某種聯繫或做到知識的遷移。因此，在大學教學過程中，教師除了單純地傳授知識外，還應該多了解學生的學習狀態，根據學生的百科知識，採用恰當的語境線索激發學生多樣的認識論資源，通過推理與類比等具身體驗，幫助學生自主學會數學方法在物理學中的意義建構與應用。
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作者簡介: 賈光一，男，天津商業大學講師，主要從事大學物理與納米材料光電性質相關的教學與科研工作，gyjia87@163.com。
引文格式: 賈光一，劉玉環，張靖雯，等. 從認知語義學的視角看數學方法在物理學中的應用[J]. 物理與工程，2019，29(2)：54-59.
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