很多人會覺得我的講題有些奇怪，中國文學與數學好像是風馬牛不相及，但我卻討論它。其實這關乎個人的感受和愛好，不見得其他數學家有同樣的感覺，「如人飲水，冷暖自知」。每個人的成長和風格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關係。我幼受庭訓，影響我至深的是中國文學，而我最大的興趣是數學，所以將兩者做一個比較，對我來說是相當有意義的事。
數學之為學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可說是人文科學和自然科學的橋梁。
數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律。這裡所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛，我們認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部分，我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。
大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質。氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起著關鍵性的作用。因為人文知識也致力於描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了「通古今之變」外，也要「究天人之際」。
劉勰在《文心雕龍•原道篇》說，文章之道在於「寫天地之輝光，曉生民之耳目。」
劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文採。他又說：「人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之秀氣，實天地之靈氣。靈心既生，於是語言以立。語言既立，於是文章著明，此亦原於自然之道也。」
歷代的大數學家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創性發明，也是由於探索自然界的現象而引起的。
廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂30年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經》、《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。
捕捉大自然的真和美，實遠勝於一切人為的造作，正如《文心雕龍》說的：「雲霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。」
在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。儘管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不捨，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：「亦餘心之所善兮，雖九死其猶未悔。」
我花了5年工夫，終於找到了具有超對稱的引力場結構，並將它創造成數學上的重要工具。當時的心境，可以用以下兩句來描述：「落花人獨立，微雨燕雙飛。」
數學的文採，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用。我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文採斐然，令人讚嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明「採菊東蘺下，悠然見南山」的意境。
從歐氏幾何的公理化，到笛卡兒創立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富於變化為宗，其文採絕不遜色於任何一件文學創作。
文學家為了達到最佳意境的描述，需要追究「僧推月下門」與「僧敲月下門」的區別。數學家為了創造美好的理論，也不必依隨大自然的規律，只要邏輯推導沒有問題，就可以盡情地發揮想像力。
然而文章終究有高下之分，大致來說，好的文章「比興」的手法總會比較豐富。
中國古詩十九首，作者年代不詳，但大家都認為是漢代的作品。劉勰說：「比採而推，兩漢之作乎。」這是從詩的結構和風格進行推敲而得出的結論。在數學的研究過程中，我們亦利用比的方法去尋找真理。我們創造新的方向時，不必憑實驗，而是憑數學的文化涵養去猜測去求證。
舉例而言，30年前我提出一個猜測，斷言三維球面裡的光滑極小曲面，其第一特徵值等於二。當時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關情況模擬而得出的猜測。最近有數學家寫了一篇文章證明這個猜想。其實我的看法與文學上的比興很相似。
我們看《洛神賦》：「翩若驚鴻，婉若遊龍。榮曜秋菊，華茂春松。髣髴兮若輕雲之蔽月，飄飄兮若流風之回雪。」由比喻來刻劃女神的體態。
我一方面想像三維球的極小曲面應當是如何的勻稱，一方面想像第一譜函數能夠同空間的線性函數比較該有多妙，通過原點的平面將曲面最多切成兩塊，於是猜想這兩個函數應當相等，同時第一特徵值等於二。
當時我與卡拉比教授討論這個問題，他也相信這個猜測是對的。旁邊我的一位研究生問為什麼會做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力了。
偉大的數學家遠矚高瞻，看出整個學問的大流，有很多合作者和跟隨者將支架建立起來，解決很多重要的問題。正如曹雪芹創造《紅樓夢》時，也是一樣，全書既有真實，亦有虛構；既有前人小說如《西廂記》、《金瓶梅》、《牡丹亭》等的蹤跡，亦有作者家族凋零、愛情悲劇的經驗，通過各種不同人物的話語和生命歷程，道出了封建社會大家族的腐敗和破落。《紅樓夢》的寫作影響了清代小說垂200年。
由於文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟詠。例如對楊柳的描述,溫庭筠寫「柳絲長，春雨細……」吳文英寫「一絲柳，一寸柔情，料峭春寒中酒……」李白寫「年年柳色，灞陵傷別。」周邦彥寫「柳陰直，煙裡絲絲弄碧，隋堤上，曾見幾番，拂水飄綿送行色……長亭路，年去歲來，應折柔條過千尺。」晏幾道寫「舞低楊柳樓心月，歌盡桃花扇底風。」
對事物有不同的感受後，往往通過比興的方法另有所指，例如「美人」有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原《九章》：「結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。」也可以指品德美好的人，《詩經•邶風》：「雲誰之思，西方美人。」蘇軾《赤壁賦》：「望美人兮天一方。」
數學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有10個以上，等周不等式亦有五六個證明，高斯則給出數論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們可以從不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數學上不同的發展。
對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿著曲率方向來推動它一下看看有甚變化，代數幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數論學家會問上面有沒有整數格點。這種種主觀的感受由我們的修養來主導。
反過來說，文學家對同一事物亦有不同的歌詠，但在創作的工具上，卻有比較統一的對仗韻律的講究，可以應用到各種不同的文體。從數學的觀點來說，對仗韻律是一種對稱，而對稱的觀念在數學發展至為緊要，是所有數學分枝的共同工具。另外，數學家又喜歡用代數的方法來表達空間的結構，同調群乃是重要的例子，由拓樸學出發而應用到群論、代數、數論和微分方程學上去。
王國維在《人間詞話》裡說：「詞以境界為最上。有境界則自成高格……有造境，有寫境，此理想與寫實兩派之所由分。然兩者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰於理想故也。有有我之境，有無我之境。『淚眼問花花不語，亂紅飛過鞦韆去。』……有我之境也。『採菊東蘺下，悠然見南山。』……無我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物……無我之境，人唯乎靜中得之。有我之境，於由動入靜時得之，故一優美，一宏壯也。自然之物互相關係，互相限制。然其寫之於文學及美術中也，必有其關係限制之處。故雖寫實家亦理想家也。又雖如何虛構之境，其材料必求之於自然，而其構造亦必從自然之法律。故雖理想家亦寫實家也。」
數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當年尤拉開創變分法和推導流體方程，由自然現象引導，可謂無我之境，他又憑自己的想像力研究發散級數，而得到zeta函數的種種重要結果，開300年數論之先河，可謂有我之境矣。另外一個例子是法國數學家Grothen－dick，他著述極豐，以個人的哲學觀點和美感出發，竟然不用實例，建立了近代代數幾何的基礎，真可謂有我之境矣。
在幾何的研究中，我們發現狄拉克在物理上發現的旋子在幾何結構中有魔術性的能力，我們不知道它的內在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結構中的精髓，在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們製造了曲率而讓曲率自動發酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結構來證明代數幾何的問題和用調和映像來看研究幾何結構的剛性問題也可作如是觀。
不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境。《文心雕龍•神思》：「文之思也，其神遠矣。故寂然凝慮，思接千載；悄然動容，視通萬裡。吟詠之間，吐納珠玉之聲，眉睫之前，卷舒風雲之色，其思理之致乎。」
好的工作應當是文已盡而意有餘，大部分數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創意的文章，未必為時所好，往往十數年後始見其功。
我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以後和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的讚賞，直到最近5年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不捨地去研究，覺得意猶未盡。
我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩「文章千古事，得失寸心知。」而杜甫就曾批評初唐四傑的作品「王楊盧駱當時體，不廢江河萬古流。」
數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學中有很重要的功用，但是以後很多數學家為了研究這種空間而不斷地推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。
數學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的了解，將原來所認識的數學結構的美發揮盡至後，需要進入新的境界。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數學物理和算術幾何組合變化，亦可振翼高翔。
當一個大問題懸而未決的時候，我們往往以為數學之難莫過於此。待問題解決後，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會有不同的感受。
其實，科學家對自然界的了解，都是循序漸進，在不同的時空自然會有不同的感受。有學生略識之無後，不知創作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進步。
莊子：「今爾出於崖涘，觀於大海，乃知爾醜，爾將可與語大理矣。」我曾經參觀德國的葛庭根大學，看到19世紀和20世紀偉大科學家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部分，很多傑作都還未發表，使我深為慚愧而欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動，據為己有，儘快發表。或申請院士，或自炫為學術宗匠，於古人何如哉。
為了達到深遠的效果，數學家需要找尋問題的精華所在，需要不斷地培養我們對問題的感情和技巧，這一點與孟子所說的養氣相似。氣有清濁，如何尋找數學的魂魄，視乎我們的文化修養。
白居易說：「聖人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義……未有聲入而不應，情交而不感者。」
嚴羽《滄浪詩話》：「盛唐諸公唯在興趣，羚羊掛角，無跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無窮。」
我的朋友Hamilton先生，他一見到問題可以用曲率來推動，他就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學生，見到與愛因斯坦方程有關的幾何現象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數學問題沒有感情的現象，反而對名位權利特別重視。為了院士或政協委員的名銜而甘願千裡僕僕風塵地奔波，在這種情形下，難以想像他們對數學、對自然界有深厚的感情。
數學的感情是需要培養的，慎於交友才能夠培養氣質。博學多聞，感慨始深，堂廡始大。歐陽修：「人間自是有情痴，此恨不關風與月。」「直須看盡洛城花，始與東風容易別。」能夠有這樣的感情，才能夠達到晏殊所說：「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。」
濃厚的感情使我們對研究的對象產生直覺，這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數學家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學說。
——數學大師丘成桐2005年7月4日在「浙江人文大講堂」的講演