暑假帶你玩數學,讀讀這個源於小遊戲的數學童話吧——蘆果漫遊數題國18:青草池塘蛙

盧老師的話：《蘆果漫遊數題國》，是我在《數學大王》雜誌上從去年初起新連續的一個系列數學童話。2019年6月29日晚上，新寫了第18集，因為這集故事源於一個有趣的數學小遊戲，所以發給親愛的小讀者們看看。

在這兒，數學不但可以看，更加可以玩哦。

如果大家喜歡，可以在「盧說數學」公眾號的對話框中回復「青蛙跳」，下載到這個遊戲的電腦版和SWF版，還包括文末問題的答案哦。

（注意，手機一般不能打開，有的應用市場上可能有這個遊戲的蘋果版或安卓版，請自行搜索），親子可以一起在電腦上玩玩看。

其實呀，直接拿六枚棋子，畫七個圈圈，也就可以玩啦。數學，就是這麼省錢，但是呢，費腦子……

蘆果漫遊數題國

第18集：青草池塘蛙

蘆果把紅、黃、橙三顆寶石小心翼翼地裝進自己的口袋裡，拉上拉鏈後還檢查了半天。她現在整天騎在青鳥身上飛來飛去，如果沒有裝好，從空中掉落的寶石那是肯定再也找不回的。

喝夠了飲料，口不渴了，青鳥帶著蘆果繼續向前飛行。兩人探討下一步去哪裡找其他寶石，蘆果說：「赤橙黃綠青藍紫，我們現在差的四顆寶石分別是綠、青、藍、紫……」

青鳥點點頭說：「那我們一起從天上留意這些顏色。」

蘆果問：「綠和青，兩種顏色很相似，怎麼區別呢？」

「不要以為人類是萬物靈長，就什麼都厲害哦。要是比區彆氣味，那你的鼻子比不上狗鼻子，要是比區別顏色，那你的眼睛絕對比不上我們鳥類的眼睛。」青鳥得意地說。

「照你這麼說，我是用『次品』零件組裝起來的咯？」蘆果不服氣地說。

「那倒也不至於，人類還是有很多厲害的地方的，比如說你們會背古詩詞呀，想想有沒有和這四種顏色有關的？」

蘆果回想著語文老師講過的那些詩句，紫字開頭和藍字開頭的似乎特別少，紫字開頭的她一個也沒想起來，藍字開頭的倒有一句「藍田日暖玉生煙」，難道要去找一片藍色的田地？對了，綠和青字開頭的倒是不少。「綠楊陰裏白沙堤」，白居易的詩；「綠樹村邊合」，孟浩然的詩；「綠水人家繞」，蘇軾的詩；還有「綠樹陰濃夏日長」，「綠陰不減來時路」，「綠楊煙外曉寒輕」，這綠字開頭詩的太多了，怎麼老半天都沒找到綠寶石呢？

還有「青」字開頭的也不少，杜甫有「青春作伴好還鄉」，李白有「青山橫北郭」，漢樂府詩有「青青園中葵」，辛棄疾有「青山遮不住」，對了，眼前的青鳥不就對應著一句「青鳥殷勤為探看」嗎？

念念叨叨容易開拓思路，蘆果突然覺得自己真是「騎驢找驢」，這青寶石難道就在青鳥身上？她在青鳥的羽毛之間翻找起來。

「喂，你幹什麼，太痒痒啦！」青鳥大笑著求饒，翅膀忘了扇動之下，帶著蘆果直往地上墜去。

「哎呀，」從這麼高的空中掉下去，無論什麼生物都會摔個稀巴爛，蘆果嚇得緊緊抱住了青鳥，但忙亂之間，居然把青鳥的翅膀也抱了個扎紮實實。

「快放開我！」「你快飛起來呀。」

「你不放開我怎麼飛？」「放開你我就掉下去了。」

好不容易，蘆果才發現自己搞的烏龍，連忙鬆開手，改抱住青鳥的脖子，而這時候他們已經離地面非常近了，一片青草坡地，一片閃亮的水面，都已經近在眼前。

青鳥奮力揮動翅膀，努力控制方向，就在將要落入水面的一瞬間，滑躍而起，撲到青草坡上，兩人都撞昏了過去。

不知過了多久，兩人悠悠醒來，發現眼前星輝點點……

難道這就叫做眼冒金星？蘆果坐起來四下一看，原來已是夜晚，他們就在青草坡底，差一點兒就要掉到池塘裡了。正想著呢，青鳥也醒了，蘆果連忙拉住他，免得他掉到池塘裡。

青鳥摸摸後腦勺：「我怎麼耳朵裡聽到許多雜音，呱呱呱，呱呱呱，難道我摔得耳鳴了？」

「哈哈，那是池塘裡的青蛙在唱歌呢，青草池塘處處蛙呀。」

咦，這不也是一句青字開頭的詩嗎？蘆果興奮地拉著青鳥走到一處比較寬敞的池塘邊，蹲下來用手撩了一下水面，蕩起的波紋把漂浮在水面上的幾片蓮葉推動起來，輕輕搖擺。

「呱呱呱！」突然傳來幾聲很響亮的蛙鳴聲，在一片低吟中顯得特別突出。蘆果和青鳥循聲望去，發現在一處水面上正巧有一排七片整齊的蓮葉，除了中間那片空著以外，兩邊的3片蓮葉上各蹲著1隻青蛙，兩邊青蛙面面相覷，像極了兩隊正好被堵住的車隊。

兩隊打頭的青蛙應當是隊長吧，正在談判。

「說好了，我們左邊隊只能往右跳，你們右邊隊只能往左跳。」

「非也非也，我們有兩種動作，一種是往前走一步，一種是跳過前面的一位青蛙朋友，所以應該說是只能往前走或跳。」

「好吧，要想一下子跳過兩位青蛙朋友，那也比較危險。」

「危險什麼，還怕掉到池塘裡淹死不成？你忘了我們是青蛙嗎？」

「就算不會淹死，畢竟不夠文雅呀。」

「好吧，那我們就試起來吧，看我們多久時間能夠左右兩隊成功換位。」

於是乎，這6隻青蛙就你跳一下，我跳一下，你走一步，我走一步，反覆試驗起來。奇怪的是，試了好多次，經常都是雙方卡住動彈不得，沒一次能成功的。

（其實，本問題也曾被某數學奧賽選為四年級複賽的壓軸題）

 

問題：水面上有7塊石頭，除了中間的1塊空石頭外，左側蹲著3隻青蛙，只能往右跳；右側蹲著3隻青蛙，只能往左跳，跳躍的規則是：必須按照特定的方向，跳到與之相鄰的空石頭上，或者越過相鄰的1隻青蛙跳到緊挨著的空石頭上。請設計一個合理的跳躍順序，使得右側的三隻青蛙都跳到最左側的三塊石頭上，左側的三隻青蛙都跳到最右側的三塊石頭上。（註：每次只能有1隻青蛙跳躍，每塊石頭上最多只能有1隻青蛙）

蘆果和青鳥怕驚動這幾隻青蛙，捂著嘴不敢吭聲，躲在旁邊的旱蘆葦叢中看了半天，每次都為兩隊青蛙的功敗垂成而心中暗暗著急。倒是池塘裡的其他青蛙，三兩成群地過來圍觀，看熱鬧不嫌事兒大，呱呱呱呱地指點個沒完。只是在它們的指點之下，兩隊青蛙更是亂成一團，撞得蛙仰蛙翻。

最終，蘆果實在看不下去了，叫出來：「要多想一想，光試驗看來是不行的。」

哪知道這兩隊青蛙並不害怕，還紛紛嚷嚷著說：「說得倒輕鬆，你來試試看。」

「你說這句話的意思是我們沒頭腦，不會想咯？」

「輪到我的時候，我前面有兩隻青蛙了，叫我怎麼從他們頭上跳過去？」

「我發現越著急，越不靈。」

「如果我們能互相謙讓一下就好了。」

不知哪位青蛙說的「如果」，一下子讓深思中的蘆果抬起頭來。很多時候，別人隨口說的一句話中的一個詞，很可能讓我們覺得聽起來特別像自己的名字。但是蘆果覺得自己發現了一個突破口。

「你們不管哪隊，前面一旦出現兩隻青蛙擠在一起的時候，就容易卡住了。此時對面的青蛙過不來，後面的青蛙也上不去。我從平時觀察兩隊汽車從兩個車道變成一個車道時，輪流上道的情形，感覺你們『如果』能保持每相鄰兩隻青蛙之間隔一個空位的隊伍，應當就能順利地兩邊互相『穿過』了。」

同樣是說「如果」，青蛙們說的如果沒什麼效果，蘆果說的「如果」卻頓時讓滿池的蛙鳴都停了下來。池塘裡，池塘外，寂然無聲。

兩隊青蛙你看看我，我看看你，突然覺得這個點子非常有道理，剛才怎麼沒想到呢。很明顯，現在只有最開頭的兩位青蛙可以往前。既然沒有規定，而整個布局又是左右對稱的，那麼無論哪只先往前，都是可以的。而他們面前只有一個空位，也就是說只可能走上一步。

於是，左邊隊的第一隻青蛙往前走了一步，接下來既可以左邊隊的第二隻青蛙跟著走一步，也可以右邊隊的第一隻青蛙跳一步。但是根據蘆果所說的「保持隊形」，還是應當由右邊的第一隻青蛙跳。

接下來，又怎麼行動呢？這時候右隊的第一隻青蛙已經與第二隻隔了兩個位置了，明顯不符合蘆果提出的「保持每相鄰兩隻青蛙之間隔一個空位」的原則，當然應當是安排右邊的第二隻青蛙走一步，這下子右邊隊就終於變成每兩隻隔一個空位的隊形了。

接下來當然不能是右邊的最後一隻青蛙向前一步，那麼就會堵住左邊隊前進的路。除此之外的選擇就只有讓左邊隊的第一隻青蛙跳一格了。

這樣一來，左邊隊的第二隻青蛙就和前面那隻足足隔了三個位置，還是根據蘆果提出的原則，必須趕緊讓第二隻青蛙跟上，也就是往前跳過一隻青蛙，而第三隻青蛙也同樣跟上一步，這樣左邊隊也保持了「每兩隻隔一個空位」的隊形。

 

神奇的一幕發生了，右邊隊的三隻青蛙順利地依次各往前跳一步，整個隊伍開始「穿過」了左邊隊。而接下來左邊隊第一隻走，第二三隻跳，也開始順利地穿過右邊隊。最後的幾步已經不需要多講，隊尾的青蛙往前或走或跳，兩邊隊就成功的互相脫離，最終都到了指定的位置上。

仿佛是得了體育比賽的桂冠一樣，兩邊隊伍的青蛙都激動得大喊大叫，旁邊看熱鬧的青蛙們也齊聲喝彩，現在真的是青草池塘處處蛙了。

青鳥扑打了一下翅膀，飛了起來。月光下，青鳥在池塘上空投下一個巨大的陰影，頓時青蛙們都不吭聲了，「通通通通」全扎進了水裡。兩隊排隊通過的青蛙跳下水的時候，還把腳下的蓮葉也打翻了，一併沉入水中，只剩下正中間的那片蓮葉，依然青翠。

蘆果輕輕地向前伸出手去，手入水中，水流清涼，夜色清涼。她小心翼翼地託起那片蓮葉，微笑地看著它慢慢地蜷起，變成一團，變成了一枚青色的寶石。

【青鳥出題考考你】

如果把左邊隊的三隻青蛙從前往後分別用1、2、3表示，右邊的從前往後分別用A、B、C表示。你能寫出能夠讓兩隊成功換位的行動方案嗎（用數字或字母代表每次行動的青蛙）？

重複一下：如果大家喜歡，可以在「盧說數學」公眾號的對話框中回復「青蛙跳」，下載到這個遊戲的電腦版和SWF版，還包括文末問題的答案哦。

（注意，手機一般不能打開，有的應用市場上可能有這個遊戲的蘋果版或安卓版，請自行搜索），親子可以一起在電腦上玩玩看。

其實呀，直接拿六枚棋子，畫七個圈圈，也就可以玩啦。數學，就是這麼省錢，但是呢，費腦子……

歡迎轉發，點擊「在看」↘，讓別人也費費腦子。