拋物線與x軸交點情況：
①沒有交點，②一個交點，③兩個交點；
一元二次方程根的情況：
①沒有實數根，②兩個相等的實數根，③兩個不等的實數根
而拋物線與x軸交點個數及一元二次方程根的個數都與判別式△=b^2-4ac的大小有關係。
△<0，沒有交點，沒有根；
△=0，一個交點，兩個相等的實根；
△>0，兩個交點，兩個不等的實數根。
一元二次方程兩根之和：x1+x2=-b/a，（x1+x2）/2=-b/2a是二次函數的對稱軸；
兩根之積：x1x2=c/a，其符號決定了二次函數與x軸交點是在y軸同側還是異側。
在利用二次函數f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）來研究一元二次方程根的情況時，常用到以下結論：
①方程有一根小於m，另一根大於n（m<n）的條件是：mf（m）<0且mf（n）<0；
②方程有一根小於m，另一根大於m的條件是：mf（m）<0；
③方程在m，n（m<n）之間只有一根的條件是：f（m）f（n）<0；
④方程在m，n（m<n）之間有兩個實根的條件是：
△>0，mf（m）>0，mf（）>0，m<-b/2a<n。
例1：已知關於x的一元二次方程2x^2+m^2x+6m=0有一根小於-2，另一根大於0，求m的取值範圍。
分析：見上面結論①。
因為原方程有一根小於-2，另一根大於0，所以有：2f（-2）<0，即8-2m^2+6m<0，
m^2-3m-4>0，解得m<-1或m>4①；
2f（0）<0，即6m<0，解得m<0②；
由①②得m<-1。
例2、已知關於x的一元二次方程x^2+（2m-1）x-（3m+2）=0有兩個實數根，且這兩根都在0與5之間，求m的取值範圍。
分析：見上面結論④。
解設y=f（x）=x^2+（2m-1）x-（3m+2），拋物線開口向上，頂點在x軸下方，與x軸交點的橫坐標都在0~5之間，因此符合要求的m的值應滿足：
①△≥0，（2m-1）^2+4（3m+2）≥0，
即4m^2+8m+9≥0，恆大於0，m為任意實數。
②f（0）>0，3m+2<0，解得m<-2/3。
③f（5）>0，25+5（2m-1）-（3m+2）>0，
即7m+18>0，解得m>-18/7。
④0<-b/2a<5，0<-（2m-1）<10，
即-10<2m-1<0，解得-9/2<m<1/2。
綜上，符合要求的m的取值範圍為：
-18/7<m<-2/3。
例3、已知拋物線y=-x^2+2（m+1）x+m+3與x軸有兩個交點A，B，且點A在x軸正半軸上，點B在x軸負半軸上，設OA的長為a，OB的長為b。
①求m的取值範圍；
②如果a：b=3：1，求m的值，並寫出此時拋物線的解析式。
解：①△=b^2-4ac=4（m+1）^2+4（m+3），恆大於0，m為任意實數；
x1.x2=c/a=-（m+3）<0，解得m>-3。
所以m的取值範圍為m>-3。
②由題意得：
a=3b，
a+（-b）=2（m+1），
a（-b）=-（m+3），
解這個方程組得m=0。
所以此時拋物線的解析式為y=-x^2+2x+3。