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一、一元二次方程根與係數的關係
（1） 若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的兩個實數根是x1，x2，
則x1+x2= -bc，x1x2= aa
（2） 若一個方程的兩個根為x1,，x2，那麼這個一元二次方程為
ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)
（3） 根與係數的關係的應用：
① 驗根：不解方程，利用根與係數的關係可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根；
② 求根及未知數係數：已知方程的一個根，可利用根與係數的關係求出另一個數及未知數係數.
③ 求代數式的值：在不解方程的情況下，可利用根與係數的關係求關於x1和x2的代數式的值，如；
④ 求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與係數的關係求出一元二次方程的一般式.
二、解一元二次方程應用題：
它是列一元一次方程解應用題的拓展,解題方法是相同的。其一般步驟為：
1．設：即適當設未知數（直接設未知數，間接設未知數），不要漏寫單位名稱，會用含未知
數的代數式表示題目中涉及的量；
2．列：根據題意，列出含有未知數的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致；
3．解：解所列方程，求出解來；
4．驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應用題的解；
5．答：怎麼問就怎麼答，注意不要漏寫單位名稱。
一元二次方程的練習題
1、 若關於x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有兩個相等的實數根，則m=__________
22、 設方程x 3x 4 0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=________，x1·x2=__________ 2
x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________
23、 若方程x-5x+m=0的一個根是1，則m=____________
24、 兩根之和等於－3，兩根之積等於－7的最簡係數的一元二次方程是_____________
25、 若關於x的一元二次方程mx+3x-4=0有實數根，則m的值為______________
226、 方程kx+1=x-x無實根，則k___________
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導學案
【學習目標】
1、學會用韋達定理求代數式的值。
2、理解並掌握應用韋達定理求待定係數。
3、理解並掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。
4、能應用韋達定理分解二次三項式。
【內容分析】
韋達定理：對於一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有兩個實數根x,x，那麼x+x=-b/a,x×x=c/a
說明：（1）定理成立的條件b-4ac≥0
（2）注意公式x+x=-b/a中的負號與b的符號的區別
根系關係的三大用處：
一、計算對稱式的值
說明：利用根與係數的關係求值，要熟練掌握以下等式變形：
【練習】
1．設x，x是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x＋x的值為_________
2．已知x，x是方程2x－7x＋4＝0的兩根，則x＋x=____，x·x＝____，（x1－x2）＝____
3．已知方程2x－3x+k=0的兩根之差為2，則k=___;
4．若方程x+(a－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=____;
5．若關於x的方程x+2(m－1)x+4m=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那麼m的值為__ ;
二、構造新方程
理論：以兩個數x,x為根的一元二次方程是x-(x+x)x+xx=0。
例解方程組 x+y=5
xy=6
解：顯然，x，y是方程z-5z+6＝0 ① 的兩根
由方程①解得 z=2,z=3
∴原方程組的解為 x=2,y=3
x=3,y=2
顯然，此法比代入法要簡單得多。
三、定性判斷字母係數的取值範圍
【典型例題】
已知關於x的方程x-(k+1)x+k+1=0，根據下列條件，分別求出k的值．
(1) 方程兩實根的積為5；
(2) 方程的兩實根x,x,滿足∣x∣=x．
分析：
(1) 由韋達定理即可求之；
(2) 有兩種可能，一是x=x＞0，二是-x=x，所以要分類討論．
說明：
根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足b-4ac≥0。
例題講析
【例1】設x1、x2是方程x2+4x﹣3=0的兩個根，2x1(x22+5x2-3)+a=2，則a= ．
【分析】根據方程根的定義、根與係數的關係，可得x22+4x2﹣3＝0，x1+x2＝-4，x1•x2＝-3，然後化簡所求的代數式，代入求值即可．
【解】依題意，得
x1+x2=﹣4，x1•x2=﹣3，
x22+4x2﹣3＝0，得x22+5x2-3=x2．
又∵2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，
∴2x1x2+a=2×(-3)+a＝2，
解得a=8．
【拓展1】已知關於x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有實數根．
（1）求m的取值範圍；
（2）設方程的兩實根分別為x1與x2，求代數式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．
【解】（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，
得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0．
∴△=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24．
∵方程有實數根，
∴﹣8m+24≥0．解得 m≤3．
∴m的取值範圍是m≤3．
（2）∵方程的兩實根分別為x1與x2，由根與係數的關係，得
∴x1+x2=2m﹣6，x1·x2＝m2-4m+3，
∴x1·x2－x12﹣x22
=3x1x2-(x1+x2)2
=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2
=﹣m2+12m﹣27
=﹣（m﹣6）2+9
∵m≤3，且當m＜6時，
﹣（m﹣6）2+9的值隨m的增大而增大，
∴當m=3時，x1•x2﹣x12﹣x22的值最大，最大值為﹣（3﹣6）2+9=0．
∴x1•x2﹣x12﹣x22的最大值是0．
【拓展2】如果a、b、c為互不相等的實數，且滿足關係式b2+c2=2a2+16a+14與bc=a2﹣4a﹣5，求a的取值範圍．
【分析】由已知得（b+c）2=4（a+1）2，得到b+c=±2（a+1），又bc=a2﹣4a﹣5，則b，c可看作一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5=0的兩個不相等實數根，再利用根的判別式計算a的範圍（但此時僅能保證b≠c），需注意再討論b和c分別和a相等時捨去．
【解】∵b2+c2=2a2+16a+14，
bc=a2﹣4a﹣5，
∴（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）=4a2+8a+4=4（a+1）2．
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a2﹣4a﹣5，
所以b，c可作為一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5=0的兩個不相等實數根，
所以△=4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）=24a+24＞0，解得a＞﹣1．
若當a=b時，那麼a也是上述方程的解，∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5=0，
即4a2﹣2a﹣5=0或﹣6a﹣5=0，解得
應用例析及練習一、根據判別式，討論一元二次方程的根。
例1：已知關於的方程（1）有兩個不相等的實數根，且關於的方程（2）沒有實數根，問取什麼整數時，方程（1）有整數解？
分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值範圍中篩選符合條件的的整數值。
解：∵方程（1）有兩個不相等的實數根，
∴
解得；
∵方程（2）沒有實數根，
∴
解得；
於是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值範圍是
其中，的整數值有或
當時，方程（1）為，無整數根；
當時，方程（1）為，有整數根。
解得：
所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。
說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值範圍，並依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。
二、判別一元二次方程兩根的符號。
例1：不解方程，判別方程兩根的符號。
分析：對於來說，往往二次項係數，一次項係數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式△，但△只能用於判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定 或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有兩個不相等的實數根。
設方程的兩個根為，
∵＜0
∴原方程有兩個異號的實數根。
說明：判別根的符號，需要把「根的判別式」和「根與係數的關係」結合起來進行確定，另外由於本題中＜0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若＞0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。
三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母係數的值。
例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。
分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與係數的關係求出另一個根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得
當時，原方程均可化為：
，
解得：
∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。
解法二：設方程的另一個根為，
根據題意，利用韋達定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：
，
即
解得
∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。
說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。
例3：已知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。
分析：本題若利用轉化的思想，將等量關係「兩個根的平方和比兩根的積大21」轉化為關於的方程，即可求得的值。
解：∵方程有兩個實數根，
∴△
解這個不等式，得≤0
設方程兩根為
則，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
說明：當求出後，還需注意隱含條件，應捨去不合題意的。
四、運用判別式及根與係數的關係解題。
例5：已知、是關於的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值範圍；若不能同號，請說明理由，
解：因為關於的一元二次方程有兩個非零實數根，
∴則有
∴
又∵、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與係數的關係，可得：
假設、同號，則有兩種可能：
（1） （2）
若， 則有： ；
即有：
解這個不等式組，得
∵時方程才有實樹根，∴此種情況不成立。
若 ， 則有：
即有：
解這個不等式組，得；
又∵，∴當時，兩根能同號
說明：一元二次方程根與係數的關係深刻揭示了一元二次方程中根與係數的內在聯繫，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯繫的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。
六、運用一元二次方程根的意義及根與係數的關係解題。
例：已知、是方程的兩個實數根，求的值。
分析：本題可充分運用根的意義和根與係數的關係解題，應摒棄常規的求根後，再帶入的方法，力求簡解。
解法一：由於是方程的實數根，所以
設，與相加，得：
）
（變形目的是構造和）
根據根與係數的關係，有：
，
於是，得：
∴=0
解法二：由於、是方程的實數根，
∴
∴
說明：既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標誌，是努力的方向。
有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的係數是有理數，利用根與係數的關係解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。
七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。
例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。
分析：當設兩方程的相同根為時，根據根的意義，可以構成關於和的二元方程組，得解後再由根與係數的關係求值。
解：設兩方程的相同根為， 根據根的意義，
有
兩式相減，得
當時， ，方程的判別式
方程無實數解
當時， 有實數解
代入原方程，得，
所以
於是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為
說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出並不存在的解：
當時，，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；
（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：
且
另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。
【趁熱打鐵】
一、填空題：
1、如果關於的方程的兩根之差為2，那麼 。
2、已知關於的一元二次方程兩根互為倒數，則 。
3、已知關於的方程的兩根為，且，則 。
4、已知是方程的兩個根，那麼： ；
； 。
5、已知關於的一元二次方程的兩根為和，且，則； 。
6、如果關於的一元二次方程的一個根是，那麼另一個根是 ，的值為 。
7、已知是的一根，則另一根為 ，的值為 。
8、一個一元二次方程的兩個根是和，那麼這個一元二次方程為： 。
二、求值題：
1、已知是方程的兩個根，利用根與係數的關係，求的值。
2、已知是方程的兩個根，利用根與係數的關係，求的值。
3、已知是方程的兩個根，利用根與係數的關係，求的值。
4、已知兩數的和等於6，這兩數的積是4，求這兩數。
5、已知關於x的方程的兩根滿足關係式，求的值及方程的兩個根。
6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。
三、能力提升題：
1、實數在什麼範圍取值時，方程有正的實數根？
2、已知關於的一元二次方程
（1）求證：無論取什麼實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。
（2）若這個方程的兩個實數根、滿足，求的值。
3、若，關於的方程有兩個相等的正的實數根，求的值。
4、是否存在實數，使關於的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。
5、已知關於的一元二次方程（）的兩實數根為，若，求的值。
6、實數、分別滿足方程和，求代數式
的值。
答案與提示：
一、填空題：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韋達定理得：，，∴，
解得：，代入檢驗，有意義，∴。
3、提示：由於韋達定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
4、提示：由韋達定理得：，，
；；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：①設＞0，＜0，則
；②設＜0，＞0，則。
5、提示：由韋達定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：設，由韋達定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：設，由韋達定理得：，，∴，
∴，∴
8、提示：設所求的一元二次方程為，那麼，，
∴，即；；∴設所求的一元二次方程為：
二、求值題：
1、提示：由韋達定理得：，，∴
2、提示：由韋達定理得：，，∴
3、提示：由韋達定理得：，，
∴
4、提示：設這兩個數為，於是有，，因此可看作方程的兩根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的兩個數分別是，。
5、提示：由韋達定理得，，∵，∴，
∴，∴，化簡得：；解得：
，；以下分兩種情況：
①當時，，，組成方程組： ；解這個方程組得：；
②當時，，，組成方程組：；
解這個方程組得：
6、提示：設和相同的根為，於是可得方程組：
；①②得：，解這個方程得：；
以下分兩種情況：（1）當時，代入①得；（2）當時，代入①得。
所以和相同的根為，的值分別為，。
三、能力提升題：
1、提示：方程有正的實數根的條件必須同時具備：①判別式△≥0；②＞0，＞0；於是可得不等式組：
解這個不等式組得：＞1
2、提示：（1）的判別式△
＞0，所以無論取什麼實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。（2）利用韋達定理，並根據已知條件可得：
解這個關於的方程組，可得到：，，由於，所以可得，解這個方程，可得：，；
3、提示：可利用韋達定理得出①＞0，②＞0；於是得到不等式組：
求得不等式組的解，且兼顧；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根據，＞，得到，即：＝4
4、答案：存在。
提示：因為，所以可設（）；由韋達定理得：，；於是可得方程組：
解這個方程組得：①當時，；②當時，；
所以的值有兩個：；；
5、提示：由韋達定理得：，，則
，即，解得：
6、提示：利用求根公式可分別表示出方程和的根：
，，
∴，∴，∴，
又∵，變形得：，∴
，∴
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