前面已經了解了e是無理數，但同時e又是超越數，那什麼是超越數呢？
超越數是不能滿足任何整係數代數方程的實數（不是任何整數系方程的根），對於證明超越數是相當複雜，所以本期將分成4個部分來來證明：《e不是任何整數系一元二次方程的解》《e與一元三次方程的解的關係》但為了證明e不是任何整數系一元三次方程的解，有必須了解《e與伽馬函數的關係》最終得出《e不是任何整數系一元三次方程的解》，最終得到e不是任何整係數代數方程的解，也就得到e是超越數
前面《e是無理數最優美的證明方法》已經得出e的無窮級數可以寫成整數之比加上一個很小的數，由此得出e是無理數，也就不能寫成兩個整數之比。
我們知道線性方程是如下形式，a，b是整數，所以得到
因為e不是有理數，等同於e不是任何非平凡整數系線性方程的解，這裡的非平凡理解為a,b均不等於0。
那e是不是非平凡整數系（係數均不等於0）一元二次方程式的解呢，我們先想想根號2,雖然是無理數，但它也是一個很簡單的二次方程的根
我們要證明e比根號2還要無理。我們要怎麼證明這個二次等式不成立呢
我們還是運用反正法，假設e是一元二次方程的根，
變形整理得到
回到文章開頭，m越大，右邊那個分數就越小
我們都知道e^x的無窮級數，所以1/e的無窮級數就是
同理，運用類似的方法，1/e也可以寫成一個分數+一個小數形式
將e和1/e的等式帶進去
得到
兩邊乘以m!整理得到
所以最終就寫成了：整數+a*小數+c*小數=整數
如果m很大，則括號內的數就會越小，最終小於1，但它是否等於0呢，如果等於0，上述等式就是成立的，我們就製造不出矛盾了。聰明的夥伴們也許動動腦動動手就知道，無論m有多麼大，括號內有多麼小，括號內的始終不會等於0。(留給讀者自己證明)，這與假設矛盾，上述等式不成立。
所以我們得到e不是非平凡整數系（係數均不等於0的整數）一元二次方程式的解。