【初中數學】一元二次方程的解法合輯

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1．直接開方法解一元二次方程

(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.
(2)直接開平方法的理論依據：平方根的定義.
(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

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要點詮釋：

用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負數的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.

2.因式分解法解一元二次方程

（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟:

①將方程右邊化為0；
　 　②將方程左邊分解為兩個一次式的積；
　　 ③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
　　 ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

　　　

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要點詮釋：

   （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那麼這兩個因式中至少有一個等於0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.

【典型例題】

類型一、用直接開平方法解一元二次方程

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【總結升華】應當注意，如果把x+m看作一個整體，那麼形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標．

舉一反三：

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類型二、因式分解法解一元二次方程

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【總結升華】若把各項展開，整理為一元二次方程的一般形式，過程太煩瑣．觀察題目結構，可將x+1看作m，將(2-x)看作n，則原方程左端恰好為完全平方式，於是此方程利用分解因式法可解．

舉一反三：

【變式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．

【答案】將(x+2)看作一個整體，右邊的2(x+2)移到方程的左邊也可用提取公因式法因式分解．

         即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．

        ∴  (x+2)(x-3)＝0，∴  x+2＝0或x-3＝0．

        ∴  x1＝-2   x2＝3．

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【總結升華】如果把視為一個整體，則已知條件可以轉化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個一元二次方程．此題看似求x、y的值，然後計算，但實際上如果把看成一個整體，那麼原方程便可化簡求解。這裡巧設再求z值，從而求出的值實際就是換元思想的運用．

①公式法解一元二次方程

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②用公式法解一元二次方程的步驟

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類型一、公式法解一元二次方程

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【要點梳理】要點一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 將一元二次方程配成

的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：
　　　①把原方程化為的形式；
　　　②將常數項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的係數，將二次項係數化為1；
　　　③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方；
　　　④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；
　　　⑤若方程右邊是非負數，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.
要點詮釋：

（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

（2）配方法關鍵的一步是「配方」，即在方程兩邊都加上一次項係數一半的平方.

（3）配方法的理論依據是完全平方公式．

要點二、配方法的應用

1．用於比較大小：

在比較大小中的應用，通過作差法最後拆項或添項、配成完全平方，使此差大於零（或小於零）而比較出大小.

2．用於求待定字母的值：

配方法在求值中的應用，將原等式右邊變為0，左邊配成完全平方式後，再運用非負數的性質求出待定字母的取值．

3．用於求最值：

「配方法」在求最大（小）值時的應用，將原式化成一個完全平方式後可求出最值．

4．用於證明：

「配方法」在代數證明中有著廣泛的應用，我們學習二次函數後還會知道「配方法」在二次函數中也有著廣泛的應用．

要點詮釋：

「配方法」在初中數學中佔有非常重要的地位，是恆等變形的重要手段，是研究相等關係，討論不等關係的常用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學們一定要把它學好．
 

【總結升華】方程(1)的二次項係數是1，方程(2)的二次項係數不是1，必須先化成1，才能配方，這是關鍵的一步．配方時，方程左右兩邊同時加上一次項係數一半的平方，目的是把方程化為的形式，然後用直接開平方法求解．同時要注意一次項的符號決定了左邊的完全平方式中是兩數和的平方還是兩數差的平方．

【總結升華】證明一個代數式大於零或小於零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數的式子來證明．本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學的配方法大同小異，即思路一致．

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【來源】轉自：李磊數學
(公眾號ID:Lileishuxue).

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