日期：2019年3月27日
正文共：2309字27圖
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來源：Genius
日前看到有個初中數學問題推到了我的Timeline上，問：係數為啥叫係數？
我腦洞炸裂靈感迭起，心情如電火花一般激靈四射，又為見到這麼古老的問題痛哭流涕——想我有多久沒有問過這種問題了，從小到大，問出來也得不到滿意的解答吧。
那麼現在我就從回答這個問題開始，談談直觀理解《高等數學》《微積分》的相關知識。但必須提的是，直觀是不嚴謹的，千萬不要看了這篇文章後腦洞大開搞出什麼數學民科來，那可就糟了。
係數，你可以認為這裡是「萬千變化繫於一數」的用法。一個函數就是一個變化，這個變化繫於此數，簡稱係數。又可以說，一個函數是一個對應關係，關係數，簡稱係數。
其實能問出「係數為什麼叫係數」的人肯定也能問出「函數為什麼叫函數」。後面這個問題其實更了不起，因為可以引出「泛函」的概念來，也許以後我會試著仔細寫寫這個。
y=2x，你告訴我，這個函數的變化快慢是由什麼決定的？
沒錯，2.
那呢？這裡有兩個x，每個x的變化的快慢都是由對方決定的，第一個x的變化快慢是x倍，第二個x的變化快慢是x倍，一共是？
2x倍。
呢？這裡有三個x，每個x的變化快慢都是，所以總變化快慢是？
嗯…….
於是我們推出來兩個規律：
的變化率就是它自己，要理解的話得花大篇幅解釋e這個東西，在這裡就不提了，反正記下來也挺簡單的。
至於三角函數的變化率，你畫個單位圓看看就能明白為什麼sin的變化率就是cos，cos的變化率是-sin。如果不記得單位圓定義的……跳過。
有的時候我們會需要這樣的情況：，現在我問你，這個函數裡，x的變化快慢被什麼決定？
你很快可以得到答案，第一項有3個x，每個x的變化都是，第二項裡有兩個x，每個x的變化都是2xy，所以總變化是，同樣的，我們其實也可以問，在這個函數裡，y的變化快慢被什麼決定？顯然是。然後函數總的變化快慢是多少呢？
寫到這裡莫名其妙就得出了偏導數和全微分公式。用表示x的偏導數（變化率），表示y的偏導數（變化率），在處的全微分公式寫做。就是說這個函數的增量等於x的增量加y的增量。好吧，一個知識點就這麼完了，是不是有種感覺什麼也沒說的感覺？沒錯你相信我，真的就只是造出了幾個術語，搞出了幾個符號，內容就是我們說的那樣，那麼的……廢話。其實我一直不喜歡這種寫法，但我沒有發明符號的閒心了，就姑且這麼用，反正聽他們那些前輩說用多了還覺得挺美。
有的時候我們常常做這麼一件事。那就是，一個量根據一個法則在變化， 從某處到某處這個量變了多少。
比如f(x)從a到b一直在連續變化，問從a到b一共變化了多少？
你也許會說，這不是廢話麼，用f(b)-f(a)不就求出來了嗎？
那麼恭喜你，你以一人之力，發明了牛頓萊布尼茲公式。
牛頓萊布尼茲公式是怎麼說的？它說從a到b每一處的變化累積起來，就是f(b)-f(a)。
那由此還可以想到什麼「廢話」嗎？
當然還可以，這種廢話簡直無窮無盡，比如。
u的變化使得v變化的量，加上v的變化使得u變化的量，不就是變化的u和v彼此使得對方變化的總量嗎？很自然的有
我推出這個公式後的第二天，老師教了我們分部積分法。
我：……
至於無窮小量，極限，微元這些，我是不太想在文章裡提的。一來我沒有能力換一種完全不同的方式等價地表達出來，總覺得有這樣那樣的問題。二來我如果按書上的在這裡寫一遍，那我這篇文章還不如不寫。那麼問題來了，如果不談極限，我們怎麼討論極限的相關知識？
伯努利說，對對對，你不講極限，怎麼跟別人講我的法則？
這個法則現在我們叫洛必達法則，充分說明我們如果足夠重視每一句廢話，在嚴謹地證明後早早發表，很可能就能冠名一個東西。單單從直覺上來說，洛必達法則是在反著說這麼一件事情，兩個量從0開始變化的那一瞬間，速度的比例是多大，那麼變化的比例就是多大。如果他們變得無窮大，亦同。我們對照著看一下：
如果，在點a的某去心鄰域內兩者都可導，且存在，那麼有。
翻譯：如果兩個變化在某處都趨向於0了，而這個時候他們是光滑地變化著（不是突兀地變化），那麼在最後到0的前一瞬間，它們的比例就是他們速度的比例。
這種描述其實很原始，有點像牛頓時代的描述。從這個例子其實可以看出，極限的提出還是很重要的。
說起變化，我不由得就想起了我們小時候經常會思考的一個問題。
如果我們知道某一點的變化率，知道這一點變化率的變化率，又知道這一點變化率的變化率的變化率……那我們是否可以知道這個點經過一段時間後變到了多少？
換個表達，假設我們要知道x時的情況，但我們只知道時候的，然後我們還知道時候的變化，變化的變化……直到任意階變化我們都知道，那麼x的情況我們有理由不知道嗎？
試試看好了，首先，已經有了，這一點的變化率是f'(x0)，到x一共是變化了，然而，f'(x)並不總是f'(x0)，它是在變的，在處變化率是f(x0)''，這個變化率使得f(x0)'一共變化了，同樣，f(x0)''也是變化的，f(x0)''一共變化了。總的來說會寫出這樣的式子：
算一下，，
……
這不就是泰勒公式麼！
這個東西在寫這篇文章的時候寫著寫著就寫出來了，我看了看應該是沒錯，有錯請儘快告知……這種寫法你可以理解為泰勒公式的另一種形式。其實自己能推理出來的話，這個形式是很親切而自然。
最後，為了能寫出對大家更有幫助的文章，大家可以在評論區多留言給我提出意見和建議。
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