上一次我們講了第一次數學危機，那是關於無理數的危機。這一回我們要來複習一下第二次數學危機，它是關於「無窮小」到底是什麼的爭論。這個爭論從古希臘時代開始，在牛頓時代達到頂峰，經過了2000多年才被最終解決。
關於這個危機，有一個有趣的悖論：希臘聯軍第一勇士阿基裡斯永遠也追不上一隻烏龜，這是為什麼呢？點開下面的視頻看看吧！
以下為我的科普書《十分鐘智商運動》中相關內容的文章。
第二次數學危機是在關於一個奇怪的數——「無窮小」的爭論。這個爭論的源頭依然要追溯到古希臘時代。
1芝諾悖論
公元前495年，古希臘學霸畢達哥拉斯去世了。這時，一個五歲的孩子正在牙牙學語，他叫做芝諾。
芝諾也是古希臘數學家，他提出了一系列悖論以反駁時間和空間的連續性和變化問題，比如有一個悖論稱為「阿基裡斯永遠追不上一隻烏龜」
古希臘傳說中有一位跑的最快的英雄阿基裡斯，希臘聯軍第一勇士，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基裡斯出生後，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，唯有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，這是他唯一的弱點。在特洛伊戰爭中他被敵人射中腳踝而死。
有一天，阿基裡斯遇到了一隻烏龜。烏龜對阿基裡斯說：「別看你跑得快，你永遠也追不上我。」
阿基裡斯問：「為什麼呢？」
烏龜向他解釋道：
開始比賽時，阿基裡斯在後方A處，烏龜在前方B處，二者同時起跑。
阿基裡斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基裡斯到達B處時，烏龜已經跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小於AB的距離。
阿基裡斯會繼續跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閒著，跑到了D處，雖然CD小於BC，但是阿基裡斯還是沒有追上烏龜。
以此類推，阿基裡斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變為零。所以，阿基裡斯就永遠追不上烏龜啦。
以上就是芝諾悖論。所謂悖論，一般是指同一個命題中有兩個對立相反的結論。而芝諾對於阿基裡斯追烏龜問題的解釋不是推出對立的結論，而是完全違背常理，其實稱為詭辯更加合適。
2這個詭辯錯在哪？
要推翻這個詭辯其實也不難。
芝諾將一個追及過程分割成無限多份，並且認為：既然段數無窮多，累加起來的時間自然也是無窮長，所以追不上。但是實際上，由於阿基裡斯速度大，烏龜速度小，兩人之間的距離會越來越短。如果阿基裡斯追了無窮多段，下次再追及的距離就是無窮小。
為了更加清楚地解釋這個問題，我們把追及過程畫在一個數軸上，並且假設AB之間距離為L。方便起見，設阿基裡斯的速度等於烏龜速度的兩倍。
這樣一來，相同時間內阿基裡斯運動的距離就是烏龜的兩倍。所以阿基裡斯走過AB=L時，烏龜走過的距離為BC=L/2 ；阿基裡斯走過BC時，烏龜走過的距離CD=L/4 ……顯然，第N次追及的距離是L/2^(N-1)，如果N無限大，這個長度就無限接近於零0，稱為無窮小。
如果阿基裡斯要追上烏龜，需要追及無限多段，將這無限多段距離求和：
大家經過簡單計算就會發現，項數越多，這個式子的結果越接近2L。如果項數無窮多，阿基裡斯跑過的距離就與2L相差無窮小。直到阿基裡斯追上了烏龜，他跑過的總路程也不會超過2L。同樣，如果阿基裡斯跑過第一段距離AB的時間是t，那麼無窮多段之後阿基裡斯追上烏龜，需要的總時間不過是2t。
莊子曰：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」 說的就是一根一尺長的木棍，每天砍掉它的一半，無論經過多久都砍不光。的確，我們可以把木棍分割成越來越短的無限多份，但是加起來依然是一根木棍那麼長，這與芝諾悖論多麼相似！
3無窮小：微積分的基礎
芝諾最早提出了無窮小的概念。只可惜，希臘文明衰落之後，歐洲的科學一直沒有太大進步。直到文藝復興時代來臨，在牛頓等一大批科學家的帶領下，科學才重新蓬勃發展起來。
我們都知道牛頓是偉大的物理學家，但他也是偉大的數學家。牛頓提出的牛頓二項式定理、牛頓二分法以及微積分，都是近代數學的輝煌成就。
微積分在物理上的應用非常廣泛，人們利用它解決了很多複雜的問題。微積分中有一個概念：導數。
在一個函數圖像上隨便取兩個點P和M，計算二者縱坐標差Δy=y2-y1與橫坐標差Δx=x2-x1 ，那麼Δy/Δx就稱為兩個點連線的斜率。
如果M點越來越接近P點，那麼PM的連線就會變成過P點的切線，而這條切線的斜率就稱為P點的導數。寫作
這裡lim就叫極限， Δx就稱為無窮小。
本來一切看起來都很自然，但是英國大主教貝克萊首先對微積分發難：「無窮小到底是一個什麼樣的數？它是0嗎？如果是0，為什麼在求導時可以做分母？如果不是0，又怎麼能說剛才計算的是一個點的切線斜率呢？」
從牛頓發明微積分到十九世紀二十年代，關於「無窮小」到底是怎樣一個數，一直沒有一個統一的認識。後來，經過阿貝爾、柯西、康託爾等人的努力，直到十九世紀七十年代，人們才確立起極限基本定理，使得無窮小有了一個合理的解釋。從牛頓發明微積分開始計算，已經過去了300年。而從芝諾最早提出的無窮小概念，已經過去了2500年。
數學就是這樣，為了一個看似簡單的概念，可以爭論幾百年，甚至幾千年。
李永樂老師：北京大學物理與經濟雙學士，清華大學電子工程碩士；北京市中學物理教師/物理競賽教練。從教十年，培養清華北大學生200餘人，國際奧賽、亞洲奧賽、國家奧賽金牌十餘名。
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