大家好，我是鈴木歐。
我們上次講完了第一次數學危機之後，有人就問我第二次數學危機又是咋回事？今天我們就來說一下這個問題。
第二次數學危機的萌芽，其實在古希臘時代就已經有了，古希臘有一個數學家叫芝諾
他研究了很多的悖論，用來反駁時間和空間的連續性問題。其中最著名的一個就是阿基裡斯追烏龜的故事。
阿基裡斯是古希臘傳說中的一個英雄，什麼叫英雄？我們知道古希臘有很多的神，神和神的孩子就是神，人和人的孩子就是人，那神和人如果發生愛情，他們的孩子就是英雄。阿基裡斯就是這樣一個英雄，他是古希臘跑得最快的英雄。同時呢也是渾身刀槍不入，只有腳後跟這有一個弱點，後來被人射腳後跟射死了。
那麼，這個阿基裡斯有一天遇到了一隻烏龜，烏龜跟阿基裡斯就說了，說阿基裡斯別看你跑得快，但是你永遠也追不上我。阿基裡斯說為啥啊？它說，你看啊，你在A點，我烏龜在B點，對吧。這就叫a1，a2.
好了阿基裡斯咱們現在開始跑吧，那麼你可以要追上我的話，你得先追上我先跑這一段a1→a2，對不對？所以第一個階段，阿基裡斯就從a1跑到了a2，但是這段時間我烏龜沒閒著啊，我也往前跑了，我就從a2跑到了前面的一個位置a3，a3很顯然，它肯定沒有a1→a2那麼遠，但是我也畢竟跑了，你妹追上對吧，沒追上你接著追。你要想追上我，你得先從a2跑到a3，對不對？所以阿基裡斯又來，從a2跑到a3，對不對?在這過程中，我烏龜也沒閒著，我又往前跑了一段，雖然我跑得更少了，但畢竟我還跑了，對不對？所以烏龜又從a3跑到了a4。因此二者之間距離只能是不停地減小，但是永遠也不可能為零。
因此，阿基裡斯永遠也追不上烏龜。
這個問題到底在哪？咱們仔細研究一下，我們會發現一件事。阿基裡斯比烏龜跑得快，所以他們之間是不停縮短的我們不妨做一個假設，假設VA等於兩倍的VB。那這樣一來，如果阿基裡斯和烏龜最初相距L。阿基裡斯走完了這個L之後，烏龜往前走的距離就是1/2L，阿基裡斯走完了1/2L之後，烏龜再往前走的距離就是1/4L，所以阿基裡斯所需要走的總路程是多大？是L+1/2+1/4+1/8+...一直這樣加下去大家知不知道這個結果是多少？你看這個結果最開始跟2L差的1/2，再補上1/4之後，就跟2L差了1/4，再補上1/8之後，跟2L差了1/8所以它最終結果等於什麼？
等於2L-1/2^nL，其中這個n無窮大，對不對？
好了再來，那麼你所需要花的時間又有多長？如果第一段時間是t，第二段時間是1/2t，第三段時間是1/4t，第四段時間1/8t，那麼一直加下去
同樣它也等於2t-1/2^nt。
其中這個n如果無窮大的話，那麼最後的兩項就會非常小，所以n無窮大的時候，△SA和△TA，就是無窮小！，也就是它最後的這一項，我們就可以稱之為是無窮小項。
所以芝諾的悖論主要問題是在於他把一個有限的長度分割成了無限多份，但是這些份加起來並不是一個無窮長的時間和路程，但是從這一點出發人們就已經最初認識到了一個叫做無窮小的玩意兒。後來古希臘文明衰落，歐洲就沉寂了一千多年兩千年。直到後來呢，文藝復興之後才重新開始研究一些問題。那麼那個時候出現了一些猛人，比如說像牛頓，還有萊布尼茲。那麼這兩個人他們各自獨立發明了微積分，微積分裡面有一個重要的概念叫導數，什麼是導數？假如有一個函數y-x，它的圖像是這樣
那麼我們在這裡取一點P0，在旁邊取一點P，那麼這兩個點就會有一個橫坐標的差和一個縱坐標的差，對吧。如果你△X趨近於零的話，那麼P點就會非常接近於P0點，對吧？P點非常非常接近於P0點的時候△y/△x就叫做P0點的導數人們通過導數以及微積分解決了很多數學和物理上的問題，所以人們覺得這是很正確的，直到有一天，有一個人叫貝克萊，這個貝克萊是英國的大主教，他有很多觀點，非常神奇。貝克萊就說了，說你這個有問題，說這個問題是什麼呢？
你看你這個△x趨近於零，你到底是零還是不是零？你如果說△x它是零的話，那麼你怎麼可以做分母，對不對？如果△x不是零，又怎麼能說B點和A點重合變成一個點呢？因此貝克萊最早提出的這個問題——就是無窮小到底是不是零？
這個問題怎麼回答都是矛盾的，所以微積分的基礎是又問題的，這件事就被稱為——第二次數學危機。
第二次數學危機在歷史上持續的時間非常長，150年。150年之後，很多數學家對這個問題進行了重新定義。比如說像阿貝爾，像柯西，像康託爾，這些人對無窮小進行了嚴格的定義，從而使微積分具有了堅實的基礎，所以歸結到一句話
第二次數學危機是微積分基礎的問題，無窮小到底是不是零。