數學故事——第二次數學危機

2021-02-18 西電數統本科生黨支部

    這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由於對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關於時空的有限與無限的四個悖論：

    「兩分法」：向著一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點，然而要經過這點，又必須先經過路程的1/4點……，如此類推以至無窮。——結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。

    「阿基裡斯追不上烏龜」：阿基裡斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

    「飛矢不動」：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處於運動狀態。

    「操場或遊行隊伍」：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內移動了2公裡，可是從A看來，則B在1小時內就移動了4公裡。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。

    芝諾揭示的矛盾是深刻而複雜的。前兩個悖論詰難了關於時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，後兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經看到「無窮小」與「很小很小」的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其後果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。

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  • 數學史上的三次數學危機
    的三次數學危機數學史上的三次數學危機從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便是數學中也有大大小小的許多矛盾，例如正與負在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
  • 數學史上的第三次數學危機
    這個悖論引發了第三次數學危機！一、前兩次危機回顧第一次數學危機顛覆了畢達哥拉斯「萬物皆數」的哲學理念而發現無理數；第二次數學危機是萊布尼茨和牛頓的微積分工具所致。典型的反對者就是主教貝克萊，最後由柯西等數學家建立起了微積分理論的基礎：上層基礎是極限理論，中層是實數理論，而下層則是集合論，至此第二次危機才得以消除。集合論指出，任何確定的對象組成一個集合，每一個對象稱為集合的元素。集合可以劃分為兩類，一是本身不是本身的元素，如自然數集；另一類是本身也是本身的元素，比如一切建築群組成的集合。
  • 第三次數學危機
    >第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。經過探索，他們選擇了第二條解決途徑。羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作中提出了分支類型論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。
  • 數學史上的3次數學危機
    在數學的發展史上，大大小小的矛盾出現過很多，但很少能威脅到整個數學基礎理論，甚至引起危機。即便是千百年來人們對歐幾裡得幾何公理第五公設的疑惑，也不曾造成數學上的危機，且最終成就了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。數學史上共出現三次數學危機，每次都是由於悖論的發現而深刻和廣泛的影響了數學基礎。
  • 數學的三次危機——第一次數學危機
    數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。
  • 數學上的三次危機
    在數學發展史中，始終貫穿著這些矛盾的鬥爭與解決，而在矛盾激化到涉及整個數學的根本基礎時，就會產生數學危機。所謂的數學危機，指的就是數學公理在定義上的不完全或者是不夠嚴謹，導致了在理性的推論下，得到錯誤結論的情況，不過所謂機遇與挑戰並存，數學家喜歡機遇，但也同時不畏挑戰，要想解決這些危機，就要對數學基礎理論進行修正和補充，而這樣的努力，也往往給數學帶來新內容。
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    而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。三、第三次數學危機數學基礎的第三次危機是由1897年的突然衝擊而出現的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康託的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。
  • 3分鐘了解數學史上的第三次數學危機
    在二十世紀以前，數學經歷了極大地兩次考驗。第一個是不可度量的發現，第二個就是微積分基礎的爭論。數學史上的第二次數學危機已經基本解決。嚴格的來說，微積分理論是以實數理論為基礎的，而嚴格的微積分理論又是以集合論為基礎的。即使集合論的相容性尚未證明，但很多人認為解決它這只是時間長短的問題。1900年在巴黎舉行的數學家大會上龐加萊這樣說道：今天我們可以宣稱，完全的嚴格性已經完全達到了！
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    導語：在奔流不息的歷史長河中，逐支分流緩緩而下，數學綴飾其中，發展至今。其中，數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。三次對數學理論進一步的新發現令當時的主流學說產生了不可迴避且無可爭議的理論漏洞與邏輯矛盾。
  • 數學史上的三次數學危機，你都知道嗎？
    當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。「邏輯上的醜聞」，並保留住與之相關的一些結論，緩解了數學危機。
  • 數學史上的三次數學危機,你都知道嗎?
    數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。
  • 數學網課很無聊?那聊點有趣的數學史,第一次數學危機
    網課說到第1次數學危機，說說他的主角人物-畢達哥拉斯。何許人也？公元前5世紀，古希臘著名的數學家、哲學家。但運氣不好，最後被畢達哥拉斯的人在一艘船上發現了，將他投進大海餵魚了，這就是數學史上的殺人案，引發第1次數學危機(第1次、第2次數學危機的說法在史上是有爭論的，這個咱們先不談)。
  • 數學三次危機及意思(高中生知識拓展)
    第二次數學危機算是圓滿度過。這些悖論的出現,動搖了本來作為整個數學大廈的基礎——集合論,自然引起人們對數學基本結構有效性的懷疑，這就是第三次數學危機二、危機終結人物1：策梅洛（Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand：1871~1953)德國數學家人物2：弗倫克爾(Fraenkel, Adolf Abraham, 1891- 1965)德國數學家人物3：馮·諾依曼（John von Neumann，
  • 數學史上的三次大危機,你都了解嗎?
    寫在前面矛盾是無處不在的，數學正是由化解矛盾而發展起來的，這其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。危機數學史上貫穿了矛盾，同時也貫穿著人們對於矛盾的討論。當一個矛盾激化到可以影響整個數學基礎的時候，就會產生數學危機。而對於這種危機的化解，往往就是數學史上的新發展，可以將原本是數學拓展到更加深層次的領域上去。
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    無理數的發現以及芝諾悖論引發了第一次數學危機。過了兩百年，希臘數學家歐多克斯和阿契塔斯兩人給出了「兩個數的比相等」的新定義，建立起一套完整的比例論，其中巧妙避開了無理數這一「邏輯上的醜聞」，並保留住與之相關的一些結論，緩解了這次數學危機。