內容概述：
1．一般的有，把一個整數表示成兩個數相加，當兩個數相近或相等的時候，乘積最大。也就是把整數分拆成兩個相等或者相差1的兩個整數。
2．一般的有，把自然數m分成n個自然數的和，使其乘積最大，則先把m進行對n的帶餘除法，表示成m=np+r，則分成r個(p+1)，(n－r)個P。
3．把自然數S (S＞1)分拆為若干個自然數的和(沒有給定是幾個)，則分開的數當中最多有兩個2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大。
4．把自然數分成若干個互不相等的整數，則先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，當和等於原數則可以，若不然，比原數大多少除去等於它們差的那個自然數。
如果僅大於1，則除去2，再把最大的那個數加1。
5．若自然數N有k個大於1的奇約數，則N共有k種表示為兩個或兩個以上連續自然數之和的方法。
即當有m個奇約數表示的乘積，則有奇約數個奇約數。
6．共軛分拆．我們通過下面一個例子來說明共軛分拆：
如：10=4+2+2+1+1，我們畫出示意圖，我們將其翻轉(將圖左上到右下的對角線翻轉即得到)：，可以對應的寫成5+3+l+1，也是等於10，即是10的另一種分拆方式。
我們把這兩種有關聯的分拆方式稱為互為共軛分拆。
典型例題：
1．寫出13=1+3+4+5的共軛分拆。
【分析與解】畫出示意圖，翻轉得到，對應寫為4+3+3+2+1=13，即為13=1+3+4+5的共軛分拆。
2．電視臺要播出一部30集電視連續劇，若要每天安排播出的集數互不相等。則該電視連續劇最多可以播出幾天?
【分析與解】由於希望播出的天數儘可能地多，若要滿足每天播出的集數互不相等的條件下，每天播出的集數應儘可能地少。
選擇從1開始若干連續整數的和與30最接近(小於30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28，現在就可以播出7天，還剩下2集，由於已經有2集這種情況，就是把2集分配到7天當中又沒有引起與其他的幾天裡播出的集數相同.於是只能選擇從後加．即把30表示成：
30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8
即最多可以播出7天。
3．若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子裡然後外出，小明從每支盒子裡取出一個小球，然後把這些小球再放到小球數最少的盒子裡去。再把盒子重排了一下．小聰回來，仔細查看，沒有發現有人動過小球和盒子．問：一共有多少只盒子?
【分析與解】設原來小球數最少的盒子裡裝有a只小球，現在增加了b只，由於小聰沒有發現有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一隻裝有a個小球的盒子，而這隻盒子裡原來裝有(a+1)個小球。
同樣，現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球，這隻盒子裡原來裝有(a+2)個小球。
類推，原來還有一隻盒子裝有(a+3)個小球，(a+4)個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數。
現在變成：將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數?
因為42=6×7，故可以看成7個6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個加數；
又因為42=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個加數；
又因為42=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個加數。
所以原問題有三個解：一共有7隻盒子、4隻盒子或3隻盒子
4．機器人從自然數1開始由小到大按如下規則進行染色：
凡能表示為兩個不同合數之和的自然數都染成紅色，不符合上述要求的自然數染成黃色(比如23可表示成兩個不同合數15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數之和，1染黃色)．問：要染成紅色的數由小到大數下去，第2000個數是多少?請說明理由。
【分析與解】 顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，
3=1+2，
4=1+3=2+2，
5=1+4=2+3，
6=1+5=2+4=3+3，
7=1+6=2+5=3+4，
8=1+7=2+6=3+5=4+4，
9=1+8=2+7=3+6=4+5，
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，
11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。
可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應染成黃色。
下面統一觀察其他自然數，說明其他自然數均要染成紅色。
1)當n為大於等於10的偶數時，n=2k=4+2(k－2)。
由於n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)與4均為合數，且不相等。於是，大於等於10的偶數都可以表示兩個不同的合數之和，應染成紅色。
2)當n為大於等於13的奇數時，n=2k+1=9+2(k－4)
由於n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4與9均是合數，且不相等．也就是說，大於等於13的奇數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色。
所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個數染黃色外，其餘自然數均染紅色，第k個染為紅色的數是第(k+10)個自然數(k≥2)。
所以第2000個染紅色的數是2000+10=2010．
5.在整數中，有用2個以上的連續自然數的和來表達一個整數的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個用2個以上連續自然數的和來表達它的方法.
(1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數．
(2)請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數．
【分析與解】關於某整數，它的「奇數的約數的個數減1」，就是用連續的整數的和的形式來表達種數。
根據（1）知道，有3種表達方法，於是奇約數的個數為3+1=4，對4分解質因數4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；
有連續的2、3、5個數相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；
根據(2)知道，有6種表示方法，於是奇數約數的個數為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續的2,3、6、9、10、27個數相加：
364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40．
6.從整數1開始不改變順序的相加，中途分為兩組，使每組的和相等.如從1到3的話，1+2=3；從1到20的話：1+2+3+…+14=15+16+17+…+20。
請問：除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數算式是從1到幾?
【分析與解】我們用這種階梯圖來表示連續的數相加，假設情況見下圖，
我們通過圖得知，c是公共部分，而b+c為原等式的右邊，a +c為原等式的左邊，所以有a=b，a部分面積為 (可以看成從1一直加到A)，b部分面積為B×B(可以看作從1一直加到B再又加到1)；
有=B×B
可以表示為奇數×相鄰的偶數÷2=B×B；
其中A是連續兩個數中較小的一個，B的平方等於連續兩個數的乘積除以2．
因為相鄰的兩個數互質，所以，偶數÷2後與原相鄰奇數也互質；
所以，奇數必定為完全平方數；偶數÷2也為完全平方數，這樣：
①奇數為1，則偶數為2，除以2，為1，均為完全平方數。A=l，=1×2÷2=1，於是為A+B=2，A+2B=3；所以為l+2=3；
②奇數為9，則偶數為8，除以2，為4，均為完全平方數．A=8，=8×9÷2=36，於是為A+B=8+6=14，A+2B=8+2×6=20；所以為1+2+3+…+14=15+16+17+…+20；
還可以偶數為10，除以2，為5，不是完全平方數，不滿足。
③奇數為25，則偶數為24，除以2，為12，不是完全平方數，不滿足；
還可以偶數為26，除以2，為13，不是完全平方數，不滿足．
④奇數為49，則偶數為48，除以2，為24，不是完全平方數，不滿足；
還可以偶數為50，除以2，為25，是完全平方數．A=49，=49×50÷2=1225，於是為A+B=49+35=84，A+2B=49+2×35=119．所以等式為l+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)
所以所求的式子為1+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)