勒讓德多項式的5個遞推公式

2021-03-01 學習資料雜貨鋪
預備知識

形如

的方程叫做勒讓德(Legendre)方程。在 

其中

勒讓德多項式具有很多重要的性質，比如正交性:

通常稱 

為求出係數

所以

將

便得到 

遞推公式一

證明: 為證明

由於 

當

此外由於 

於是 

又因為

由此得到

在

將

於是可以得到

遞推公式二

證明：引入羅德裡格斯公式:

於是

所以

於是

由

證明：由

於是

繼續推導即可證明

遞推公式三

由

於是

由

由前兩式就得到

遞推公式四

證明：由

兩端對

由

結合前兩式得到:

遞推公式五

證明：由

由

於是

由

結合前兩式得到

最後

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