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部分內容整理自：量子學派 作者： 17進位
昨天，一條大新聞炸翻了學術界：著名數學家、菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主阿提亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah）宣布要在本月24號（也就是3天後）在海德堡宣講自己對於黎曼猜想的證明。
數學家們有個笑話：怎樣用世界上最難的方法掙到100萬美元？
答：去證明黎曼猜想吧！
這是因為2000年5月的時候，美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute, CMI）為了呼應1900年希爾伯特提出的23個歷史性數學難題（也稱「希爾伯特難題」）而設立的了一個成為「千禧難題」的數學問題挑戰，一共7個問題，解出一道便可獲得100萬美元的獎金，挑戰時間不限，題解必須發表在國際知名刊物上，並且要通過2年的驗證期和專家小組的審核。
這7個問題中，以黎曼猜想最為著名，它是數論的分支解析數論的一大研究主題：質數的分布。據說，每年各大研究中心都會收到無數的神秘來信聲稱自己證明了「黎曼猜想」，數學家們躍躍欲試，科學界也一直熱切關注。
請先看《黎曼猜想，質數陰謀論，以及你不能說的秘密》：
一、為什麼研究質數
黎曼猜想是一個數論裡面的重要猜想，幾百年來無人能解。那麼，這麼困難複雜的數學猜想，跟你有關係嗎？請先看我瞎編的這樣一個故事：
我看到了之後，頓時覺得不妙，趕緊約這個朋友出來談心。果然，他被女友甩了，悲傷絕望，有點想不開。
終於，在我的勸說下，朋友成功走出了陰霾，找回了面對人生的信心。
那麼我是怎麼知道這個朋友不開心的呢？因為983040000=219·31·54。這裡面把質數從小到大排序：
·第一小的質數（也就是2）出現了19次；
·第二小的質數（也就是3）出現了1次；
·第三小的質數（也就是5）出現了4次。
因此如果認為這代表一個單詞，那麼第一個位置上的字母是第19個字母（S），第二個位置上的字母是第1個字母（A），而第三個位置上的字母是第4個字母（D）：合起來就是SAD。所以我知道這個朋友一定遇到傷心的事情了。
當然這個故事是我瞎編的。但是我們的生活中，無論是銀行數據，還是國家機密，還是個人隱私，這些東西的保護都離不了密碼，離不了加密的手段。
如果我想給你一串信息，又不想讓其他人知道，怎麼辦呢？咱倆可以先商量好幾個特別特別大的質數，比如說p、q和r。如果我想給你發送一個秘密的數字378，那麼我實際上給你發送p3q7r8，一個巨大無比的數字。從我這裡的角度，我可以很輕易的用計算機算出來這個乘法，得到結果發給你。從你的角度，你拿到了這個巨大的數字之後，只需要用p、q和r去除，就可以很快把冪解出來，得到378。
但是假設某個壞蛋截取了我發的這個秘密信息，那麼想要知道內容，他就必須分解質因數。然而在不知道p、q和r的前提下，分解質因數是一個非常複雜和緩慢的過程，他可能需要好幾百年才能破譯出來。如此，我們的秘密就得到了保護。
這裡面注意，p、q和r都必須要特別大，這時候分解質因數才會特別慢，甚至幾百幾千年。如果p、q和r分別是2，3和5，那麼分解質因數就非常快了，可能一秒鐘完事。
所以說，找到大的質數，了解質數都分布在哪裡，是一個十分重要的事情。
二、質數規律
數學家多年研究，發現了一個驚人的事情：質數分布最大的規律，就是它幾乎完全隨機！
這裡我們舉一個簡單的例子。假設我們從0到1之間均勻地隨機挑一個實數。那麼首先，我們知道這個實數的平均值應該是1/2。另一方面，這個隨機的實數當然不一定是1/2，1/2隻是在描述它平均的時候的樣子。實際上它和1/2往往會有一定的正的或者負的偏差。
一個數學家發現的重大規律就是這個：平均來講，1到n的正整數中一共有
個質數。當然，這並不是說1到n裡面一定有恰好n/ln(n)個質數。對於有的n來說，1到n裡面的質數比較多一點。而對於有的n來說，1到n裡面的質數比較少一點。但是隨著n越來越大，n/ln(n)個質數的這個估計就必然會越來越準確。
所以如果有人問你，1到10100裡有多少個質數呀？你大可以拍拍腦袋說，我猜有
個質數，基本離正確答案不會差太遠。一般來說，如果我們用π(n)來代表1到n裡面的質數個數的話，那麼
會如下圖所示，逐漸趨於1。
prime number theorem | wikipedia
事實上，隨著人們對質數的了解越來越多，我們越來越發現，在宏觀上來講，質數幾乎等於是按照這個n/ln(n)來進行的一種均勻分布。無論是你去數質數的個數，還是計算所有質數的和，還是研究孿生質數，都會發現質數呈現出一種驚人的宏觀均勻性。這就好像有一個操場上有無數多個學生，儘管每個學生都在瞎走一氣，毫無規律可循，但是總體來看，居然發現操場上每個平方米裡都恰好塞了4個學生！這真是很難想像的事情。但是目前來說，幾乎我們對質數的一切了解，都在指向這個方向。
這也進一步說明了，為什麼質數特別適合做密碼：因為質數本身就幾乎是隨機的，很難找到具體的規律，因此最適合作為加密的手段。
三、那麼怎麼研究質數
咱們先別想那麼多。假設我們就想研究三個數字，1，2，3。
怎麼研究呢？一種研究方法是，我們可以考慮研究這個函數：
我宣稱，這個函數的性質就包含了1，2，3的一切性質。為什麼呢？
假設我們取s=10。那麼這時候f(10)=1+1024+59049=60074。大家可以看到，這時候我們的f(10)和310沒差多少。事實上，隨著s越來越大，1s+2s相對於3s來說就越可以忽略不計。所以f(s)的這個s趨於無窮的極限的性質，其實就包含了一切的3的性質。
反過來，我們取s=-10。那麼這時候f(10)=1+特別特別小+更加小，約等於1。可見，f(s)的這個s趨於負無窮的極限的性質，其實就包含了一切的1的性質。
那麼怎麼研究放在中間的2呢？這時候我們就要取複數了。考慮
當然，大家未必知道怎麼計算複數冪，那麼我直接把答案寫出來吧。這時候，1s仍然是1，因為1的任何冪都是1。而2s是某個複數。最後，神奇的是，這個時候恰恰好3s=-1，哇！所以說
這個時候研究f(s)就等於是在研究2，因為1的部分和3的部分完全抵消掉了。
更廣義的來說，如果我們想研究所有的正整數，那麼只要我們搞清楚函數
的一切性質，那麼我們就搞清楚了全部的正整數。通過調整不同的s的值，我們就可以得到各種各樣的抵消。
四、大神黎曼
過直線外一點，可作其幾條平行線？
歐氏幾何說，只能作一條；
羅氏幾何說，至少可以作兩條（包括一組和無數）。
黎曼慢悠悠地反問：誰知道平行線相交還是不相交呢？
「平行線公理」的世紀之爭，最終終結於黎曼。
黎曼提出：過直線外一點，一條平行線也作不出來。（這是人話嗎？）
可基於黎曼幾何得出的「無平行線」結論，最終成了廣義相對論的數學幫手。
廣義相對論最初源於愛因斯坦意識到引力並不是一種力，而是時空幾何彎曲的體現。
物理直覺超於常人的愛因斯坦一直找不到數學工具來表達他的想法，如果沒有數學支撐，直接說引力是時空彎曲效應，肯定會被吐槽成「物理是體育老師教的」。
所以，直到他從數學界朋友了解到黎曼的「非歐幾何」，才讓廣義相對論提早問世。當愛因斯坦得意地跟全世界說：如果沒有我，50年內也不會出現廣義相對論。
這時候，能和愛因斯坦站在一起吹牛的，也只有數學大神黎曼了。
五、黎曼猜想
黎曼定義了一個ζ函數（念zeta）：
這基本上和我們之前定義的差不多，只是差了一個負號。（黎曼定義這個負號，是因為希望s越大收斂性質越好。）這裡面s可以去各種各樣的複數，而對應的這個函數的值可能是無窮，可能是0，也可能是某個其他的複數。
黎曼猜想宣稱，如果ζ(s)=0，那麼s的實數部分一定是1/2。換句話說，s一定是1/2+b·i 的樣子。
但是為什麼我們要在乎ζ(s)=0的值呢？
一般來說，我們調整各種各樣的s的值的時候，ζ(s)裡面合數的部分往往隨隨便便就被質數的部分「吸收」了，而質數和質數的冪相對來說就很卻難被消掉，往往會殘留下來。那麼如果你恰好發現，對於某個s，ζ(s)居然等於0，也就是說質數也都消光了。這就說明質數裡面必然存在的某種針對這個s的結構。可以這樣想，一般來說，我們每找到ζ(s)的一個根，就等於找到了一個質數裡面的規律。
而一般來說，不妨這樣認為：一個根s的實數部分是1/2時，這對應的往往是最「沒用」的規律。一個根s的實數部分離1/2如果很遙遠，就意味著質數存在某種驚人的巨大的結構性。（按照陶哲軒的話說，說明所有的質數們都一起針對這個s的值存在著某種驚天的陰謀！）所以黎曼猜想等於是在說，質數最大的規律，就是沒有什麼突出的規律。這樣看來，黎曼猜想是一種悲觀論調。
那麼，如果黎曼猜想是正確的，那麼說明質數是沒有驚天的結構的，是幾乎均勻的隨機的。這等於說，我們進一步驗證了「質數其實是按照n/ln(n)來進行隨機均勻分布的」這個數學直覺。學過概率統計的同學可能知道，隨機數往往符合大數定理。黎曼猜想正確的一個明顯的後果就是，質數不僅僅似乎是按照n/ln(n)的概率均勻分布，而且還符合大數定理！而大數定理對於隨機數的研究是至關重要的。同理，黎曼猜想對於質數的研究也是至關重要的。
因此，不出意外的，如果黎曼猜想是正確的，那麼無數個我們對數論的猜想和直覺都會得到驗證。
六、黎曼猜想錯了，天會不會塌？
如果能夠找到黎曼猜想的反例，那麼反而是一個天大的喜事！為什麼？因為一旦我們找到了一個ζ(s)=0的根，且s的實數部分遠離了1/2，這就說明我們找到了一個關於質數的極其重要的規律！（發現了質數們的驚天陰謀！）這個規律很可能會我們對數的研究和認識帶來驚天動地的飛躍。
恰恰是，如果黎曼猜想被證明了，反而無關緊要。大家早就猜測黎曼猜想是正確的了，很多數學家早就已經在假設黎曼猜想正確的前提下，繼續往前研究了。所以如果有人證明黎曼猜想是正確的，這只不過是驗證了我們一直以來都沒錯而已，卻並不能夠帶來進步。
事實上，這有一個更有趣的現象。有很多的數學定理，比如說Littlewood定理，居然是這樣證明的：
1）假設黎曼猜想是正確的。那麼質數具有非常美好的宏觀均勻性。那麼運用美好的宏觀均勻性，證明了Littlewood定理。（Littlewood定理在這部分大概用了12頁。）
2）假設黎曼猜想是錯誤的。那麼黎曼猜想的反例就會給出一種質數之間的驚人的結構。這種結構甚至可以讓你一步登天，直接證明Littlewood定理。（Littlewood定理在這部分大概只用了半頁。）
3）所以說，無論黎曼定理是對的還是錯的，反正Littlewood定理都是對的。證明完畢。
另外，大家可以看到，黎曼定理錯誤的時候，往往是證明更簡潔更方便的時候！
總結一下，哪怕我們永遠也不會知道黎曼猜想的對錯，僅僅是黎曼猜想這個概念，就已經對數學產生了很大的推進作用。這就好像夢想一樣，無論能否實現，都能讓我們成為更好的人。
現在大家都在等待9月24號「黎曼猜想」證明，卻不知道它後面隱藏的危險
七、黎曼猜想與裸奔的網際網路
「幾何」一直是黎曼的主業，這又是一座深不可測的數學殿堂。
但今天聊的不是他的主業，而是他在1859年「閒暇之餘」隨手丟下的一個猜想。
這個猜想說的是：存在一個對素數分布規律有著決定性影響的黎曼ζ函數①非平凡零點②。
關於這些點，容易證明它們都分布在一個帶狀區域上，黎曼認為它們的分布要比這個容易證明的結果齊整得多，他猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上。而這條被猜測為包含黎曼ζ函數所有非平凡零點的直線則被稱為臨界線。就這樣，黎曼猜想正式被提出。
講人話，我們來看黎曼猜想到底長什麼樣紙！
首先定義一個函數叫黎曼函數：
ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……
黎曼猜想指的是：黎曼函數所有非平凡零點的實部都是1/2。更通俗的數學表達式如下：
ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上。
怎麼樣！看懂了吧，如果還有疑問……那我也沒輒了，我的智商有限。
黎曼自己肯定沒有想到，他所提出的這個猜想，足足折騰了數學家們159年。
如果黎曼知道直到2018年我們還在糾結，一定會花點時間把證明寫出來的。
這件事情還得怪他的老師高斯，高斯的座右銘是「寧肯少些，但要成熟」的低調作風，這一點影響到黎曼，讓他成為一個惜字如金的大神。
他一生僅發表過10篇論文，但每篇論文都橫跨各領域，是多領域的先鋒開拓者，雖然不到40歲就去世，但仍然顯示出不可一世的才華。
1859年黎曼拋出的這個不朽謎題，就是想解決素數之秘。
一旦素數之秘被解開，那麼現在幾乎所有網際網路的加密方式將不再安全，變成一個裸奔的世界，因為我們主要的非對稱加密包括RSA密鑰加密等等，都是基於大數的分解。
不僅僅是網際網路，只要證明方法被公布，無需量子計算機，根據其原理甚至能破解現代銀行的安全密碼體系，看你還開心不開心！
八、非對稱加密算法和素數的關係
那些擔心自己的錢包和黎曼猜想的朋友們，我們再複習一下小學數學：
小於20的素數有多少個？答案是有8個：2、3、5、7、11、13、17和19。小於1000的素數有多少個？小於100萬呢？小於10億的呢？
觀察素數表，你會發現素數數目是下降的，它們越來越稀疏。1和100之間有25個素數，401和500之間有17個，而901和1000之間只有14個。如果把素數列到100萬，最後一個百數段（就是從999901到1000000）中只有8個素數。如果列到10 000億，最後一個百數段中將只有4個素數。它們是，999 999 999 937，999 999 999 959 ，999 999 999 961，999 999 999 989。
越到後面，素數的尋找越發艱難。
這樣，聰明的數學家們將素數應用在密碼學上，因為人類還沒有發現素數的規律，以它作密鑰進行加密的話，破解者必須要進行大量運算，即使用最快的電子計算機，也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。
現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密算法 ，基於一個十分簡單的素數事實：將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。
黎曼猜想得到完全證明，很有可能派生出攻擊RSA公鑰加密算法的規律。
一旦黎曼猜想得證，那麼基於大素數分解的非對稱加密算法可能就走到了盡頭，私鑰加密、籤名也就失去了意義。
當我們在為數學家開心的時候，也得小心那些尋找漏洞的黑客。
九、黎曼ζ函數證明和量子幽靈有關嗎？
自20世紀以來，已有部分科學家注意到素數與量子物理之間存在聯繫。
黎曼猜想中的素數行為，酷似量子力學中的「測不準原理」，雖然你可能不知道單個分子確切位置，但是你可以確定這個房間大致的分子分布，素數這難以捉摸的行為特別像量子幽靈掌握的微觀世界。
阿蒂亞若是藉助量子力學這一工具來解決黎曼猜想也不是不可能。畢竟，數學中很多重大問題，都是建立在與其他數學分支跨界聯繫的基礎上才被解決，比如費馬大定理。
而由量子理論所衍生而出的量子計算機，也早已被數學家證明能快速對大數進行質因數分解，基於「平行世界」的運算可輕而易舉破解素數並顛覆密碼系統。
量子力學與素數的戀情，也許將在這一次揭開情人面紗。
十、猜想將動搖數學大廈嗎？
各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發。
一旦證明方法得證無誤，密碼夾持著的無盡秘密有多少會不復存在。
然而，黎曼猜想帶來的危險不僅僅影響銀行，更不僅僅是網際網路，甚至可能動搖到一些數學根基。
數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬品。
那些建立在黎曼猜想上的推論，可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。
一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是世上極為罕有的，也許正是因為這樣的關係，黎曼猜想的名氣和光環變得更加顯著，也越發讓人著迷。
因而，此次黎曼猜想是否成功證明，將牽一髮而動全身，直接影響以黎曼猜想作為前提的數學體系。