本文主要目的是為了介紹Xuming Liang和Ivan Zelich在https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2015/10/1.pdf這篇文章中得到的一些結果（並不會介紹證明，感興趣的讀者可以自己點進連結去看），並簡要介紹一些這些結果的應用。在本文的最後，我們會給出對純幾何吧344的推廣的證明。
Liang-Zelich定理將一些對Neuberg曲線(一點與其等角共軛點的連線平行於Euler線上的點的軌跡)的結果完全地推廣到了以Euler線上點為樞點的主等角共軛三次曲線(一點與其等角共軛點的連線恆過Euler線上一定點的點的軌跡)上，主要是以下三個結果：
Liang-Zelich第一定理：給定和點，若在的一個以Euler線上為樞點的主等角共軛三次曲線上，則它也在其垂足三角形的相同曲線上.換言之，設和的垂足三角形的外心、垂心分別為和,關於和的等角共軛點分別為,則分的比例和分的比例相等.
這裡的「相等」就好比方說，一個點在原三角形的Neuberg曲線上，則也在其垂足三角形的Neuberg曲線上，這個結果毫無疑問是極度優美的.
下面定義和其等角共軛點，設.(在Neuberg曲線上時=1)
Liang-Zelich第二定理：將,,的外心組成的三角形(的Carnot三角形)和關於的對稱點組成的三角形(的反射三角形)分別關於做比為和的位似，則得到的兩個新三角形與透視均若且唯若.
舉兩個特例，第一個是的情形，這時連線過垂心的反補點(在Darboux曲線上),這直接推出的垂足三角形與原三角形透視；另一個特例是，這時在Neuberg曲線上，也即的反射三角形和Carnot三角形均與原三角形透視.
下面定義一個神妙記號，定義的-Euler線是經過的外心在關於做比為的位似下的像以及的垂心的直線.
Liang-Zelich第三定理：,,的-Euler線交於的-Euler線上一點若且唯若.
時就是Neuberg曲線上熟知的四Euler線共點.
下面這個定理也來自於這篇論文，據聞可以推出Liang-Zelich第三定理，所以我們姑且向前撤退，直接承認它而不做證明.
定理1：給定兩正交且透視三角形和，兩三角形垂心為，兩正交中心為，,,的垂心分別為，則和也正交且透視，且正交中心為，在過五點的錐線上.
下為方便敘述，引入Cundy-Parry變換.記外心,垂心,則定義,,回憶所謂「完全四邊形等角線」,顯然有.下面這個定理刻畫了Liang-Zelich第二定理中的一個透視中心.
定理2：與的Carnot三角形關於位似且與透視的三角形與的透視中心為.
定理2的證明：首先由位似知這兩三角形正交，且正交中心分別是和上一點，所以由Sondat定理（兩正交且透視三角形的兩正交中心與透視中心共線），透視中心在上；另一方面，由2020.07.13 一個重要引理及其應用中的引理1，透視中心在過五點的圓錐曲線上(等角共軛點在上)，於是這點恰為.
例1：內心的Ceva三角形的九點圓心在內心和外心的連線上.
例1的證明：設是旁心三角形，熟知，令為關於的反垂足三角形，是其九點圓心.令是關於的等角共軛點，由的外心知. 又,故，於是和的位似中心在上. 對和用Liang-Zelich第一定理由是的九點圓心知，故由位似知.
例2：對McCay曲線上一點，的Ceva三角形和圓Ceva三角形位似，.
例2的證明：設的外心為，則由Liang-Zelich第二定理和定理2知，剩下的工作就是簡單的導角了.
例3：對Thomson曲線上一點，的三線性極線與外心和的連線垂直.
先證明一個引理.
引理1：設是一對等角共軛點，則的三線性極線與及其垂足三角形的重心連線垂直.
引理1的證明：令為的三線性極線.為關於的圓Ceva三角形，考慮將線束在處做垂直線束，結合平分，知.由中點在中垂線上得恰為在上的對徑點，於是由,,共根軸知結論成立.
例3的證明：設的等角共軛點為,其垂足三角形為，其重心為，則由Liang-Zelich第一定理，關於的等角共軛點滿足.注意到的Carnot三角形，於是，由引理1即得結論成立.
下面這個例子是純幾何吧344，T神的一個作品，這裡先放我對推廣的照葫蘆畫瓢式證明，在下篇文章裡會放上qzc聚聚的做法，並且講一下這個題和我之前猜測的一個問題的等價性以及另外的一些內容的關係.
例4：給定及垂心、外心，滿足(在Napoleon-Feuerbach曲線上)，其垂足三角形為,則,,的Euler線共點於的中點.
我們來證明AoPS網友「SalaF」給出的推廣.
例4的推廣：給定及垂心、外心，任取一點， 其反射三角形為， 是其在關於 做比為 的位似變換下的像. 則關於其垂足三角形的Carnot三角形和的中點三角形透視，且透視中心為的中點.
時就得到了例4.
例4的推廣的證明：先證明三Euler線共於上一點.令 為 的垂心.是關於做比為的位似下的像.由 Liang-Zelich第一定理和Liang-Zelich第二定理， 和 透視且正交. 注意到的垂心就是關於做為比的位似變換下的像，顯然在上，於是由定理1知 共點於上一點 . 下設中點為.欲要證明，只需證明如下引理.
引理2：給定，是上一點，是中點，是中點，做交於，設，則.
這個引理的證明是簡單的，留給讀者.注意到中點是垂心，且其與中點為中點，據此便可得到.故由位似輪換即得題中透視中心上一點.
下面證明是中點.記，定理1告訴我們和正交且透視，設關於的對稱點為，結合和位似，等等，由2020.07.13 一個重要引理及其應用中的引理1有 在的同一外接等軸雙曲線上，故由完全四邊形等角線知.
注：事實上這可以視為對Liang-Zelich第三定理中四條類Euler線所共點的一個刻畫.