原先認為這個東西很簡單,但是看了作業後發現,學生們做這個還是有困難。故簡單講解下。
一、大小比較
比較的依據就是課本例1得出的結論:被開方數越大,算術平方根越大。(對所有非負數都成立)。因為被開方數正好是算術平方根的平方,所以也可以通過比較平方來確定大小。
下面分類舉例來說一下
1、兩帶根號的數比較
例1、比較√8和√10的大小
∵8<10,∴√8<√10.
2、一個帶根號,一個不帶根號
例2、比較√65與8的大小
方法一:比較被開方數
8=√64
∵65>64,
∴√65>√64,即√65>8.
方法二:比較平方數
∵(√65)^2=65,8^2=64
∴√65>8.
例3、(√5-1)/2與0.5
無論被開方數或平方數都無法直接比較,所以需要簡單變形。
0.5=1/2=(2-1)/2=(√4-1)/2
∵5>4,∴(√5-1)/2>0.5
例4、比較(√5-1)/2與1
同樣無法直接比較,需要先變形。
1=2/2=(3-1)/2=(√9-1)/2
∵5<9,∴(√5-1)/2<1
例3、例4除了上述方法外,還可以利用近似數來比較。
特殊的算術平方根,√2、√3、√5是需要記憶的
√2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236
(√5-1)/2≈0.618,顯然0.5<(√5-1)/2<1
這個數字比較特殊,是黃金分割點,建議把它記住。類比記憶:京東618年中購物節(這三個數字可不是隨便選的)
二、估算
估算其實就是比較大小的實際應用。
例5、仿√2求√3的近似數。
∵1^2=1,2^2=4
∴1<√3<2 ……①
∵1.7^2=2.89, 1.8^2=3.24
∴1.7<√3<1.8 ……②
∵1.73^2=2.9929, 1.74^2=3.0276
∴1.73<√3<1.74 ……③
∵1.732^2=2.999824, 1.733^2=3.003289
∴1.732<√3<1.733 ……④
由②可得√3≈2,由③可得√3≈1.7,由④可得√3≈1.73.
一直算下去就可以得到√3更精確的近似值。
注意:每一步逼近√3的兩個數都是挨著的,比如①中1和2,②中1.7和1.8,③中1.73和1.74,④中1.732和1.733.
例6、已知a是√15的整數部分,b是√15的小數部分,求a-b的值。
解:∵3^2=9,4^2=16
∴3<√15<4
∴a=3,b=√15-3
a-b=3-(√15-3)=6-√15