七年級數學——算術平方根的估算及大小比較

2020-12-10 若葉小學堂

原先認為這個東西很簡單,但是看了作業後發現,學生們做這個還是有困難。故簡單講解下。

一、大小比較

比較的依據就是課本例1得出的結論:被開方數越大,算術平方根越大。(對所有非負數都成立)。因為被開方數正好是算術平方根的平方,所以也可以通過比較平方來確定大小。

下面分類舉例來說一下

1、兩帶根號的數比較

例1、比較√8和√10的大小

∵8<10,∴√8<√10.

2、一個帶根號,一個不帶根號

例2、比較√65與8的大小

方法一:比較被開方數

8=√64

∵65>64,

∴√65>√64,即√65>8.

方法二:比較平方數

∵(√65)^2=65,8^2=64

∴√65>8.

例3、(√5-1)/2與0.5

無論被開方數或平方數都無法直接比較,所以需要簡單變形

0.5=1/2=(2-1)/2=(√4-1)/2

∵5>4,∴(√5-1)/2>0.5

例4、比較(√5-1)/2與1

同樣無法直接比較,需要先變形。

1=2/2=(3-1)/2=(√9-1)/2

∵5<9,∴(√5-1)/2<1

例3、例4除了上述方法外,還可以利用近似數來比較。

特殊的算術平方根,√2、√3、√5是需要記憶的

√2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236

(√5-1)/2≈0.618,顯然0.5<(√5-1)/2<1

這個數字比較特殊,是黃金分割點,建議把它記住。類比記憶:京東618年中購物節(這三個數字可不是隨便選的)

二、估算

估算其實就是比較大小的實際應用。

例5、仿√2求√3的近似數。

∵1^2=1,2^2=4

∴1<√3<2 ……①

∵1.7^2=2.89, 1.8^2=3.24

∴1.7<√3<1.8 ……②

∵1.73^2=2.9929, 1.74^2=3.0276

∴1.73<√3<1.74 ……③

∵1.732^2=2.999824, 1.733^2=3.003289

∴1.732<√3<1.733 ……④

由②可得√3≈2,由③可得√3≈1.7,由④可得√3≈1.73.

一直算下去就可以得到√3更精確的近似值。

注意:每一步逼近√3的兩個數都是挨著的,比如①中1和2,②中1.7和1.8,③中1.73和1.74,④中1.732和1.733.

例6、已知a是√15的整數部分,b是√15的小數部分,求a-b的值。

解:∵3^2=9,4^2=16

∴3<√15<4

∴a=3,b=√15-3

a-b=3-(√15-3)=6-√15

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