知否| 哥德巴赫猜想何時能解?

2020-12-12 網易科技

陳景潤發表的論文《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》引起了巨大的反響。

作者 | 孟倩

出品 | 網易科技《知否》欄目組（公眾號：tech_163）

今天是著名數學家哥德巴赫的誕辰。

哥德巴赫，C．（Goldbach，Christian）1690年3月18日生於普魯士柯尼斯堡（今俄羅斯加裡寧格勒）。作為數學家，哥德巴赫其實是一位業餘玩家。但他提出的「哥德巴赫猜想」卻成為了世界三大數學猜想其一，另外兩個則是費馬大定理(整數n >2時，關於x, y, z的方程x^n + y^n = z^n沒有正整數解)和四色猜想（每個無外飛地的地圖都可以用不多於四種顏色來染色，而且不會有兩個鄰接的區域顏色相同），並且這兩個猜想已經被數學家證明完成。「哥德巴赫猜想」卻仍是世界級未解之謎。


「哥德巴赫猜想」的提出

歌德巴赫學習的是法學，後對數學研究產生興趣，做了一名中學教師。他對數學的研究純粹是出於興趣，1742年6月17日，他在給好友歐拉的一封信裡陳述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想：「隨便取某一個奇數，比如77，可以把它寫成三個素數之和，即77=53+17+7；再任取一個奇數，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三個素數之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。例子多了，即發現「任何大於5的奇數都是三個素數之和。」

這樣的例子我們可以舉出更多，

13=3+5+5或者3+3+7；

大一些的，

99=5+11+83，等等。

歐拉在同年6月30日的回信中，卻說他相信此猜想，但並不能證明。此外他還總結道：「每一個大於2的偶數都是兩個素數的和。例如4=2+2，6=3+3，48=29+19，100=97+3，等等。」一直到死，大數學家歐拉竟然都不能證明哥德巴赫這一猜想。

現在，人們一般把歌德巴赫信中提到的猜想稱為弱哥德巴赫猜想，歐拉回信的稱為強哥德巴赫猜想。只要強猜想能成立，弱猜想就一定能成立。世人所稱的哥德巴赫猜想，一般都是指歐拉提出的強猜想。

1770年，英國數學家愛德華·華林（Waring Edward）將它第一次公之於眾  ，加上「每一個奇數或者是素數或者是三個素數的和」的命題。稍加改變的提法是「每一個大於或等於9的奇數都是三個奇素數的和」，這是哥德巴赫猜想的推論。這引發了一場關於數學的革命。

「哥德巴赫猜想」證明歷程

1900年，德國著名數學家D．希爾伯特（Hilbert）在巴黎數學家大會上提出來對本世紀數學發展有重大影響的23個問題，哥德巴赫猜想被列為第8個問題。

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑分別是殆素數，例外集合，小變量的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題。歷代數學家都曾經在這四種途徑上攀爬。

殆素數

殆素數就是素因子個數不多的正整數。

比如45，它的質因數只有3和5兩個。

4807，它的質因數只有11、17和29三個。

如果以數字來標記「所含質因數的數量」的話，3和5就可以用2表示，11、17、29就可以用3來表示。大於4的偶數就用「2」來比喻。

所以哥德巴赫猜想就形容為每一個「2」都可以表示成兩個「1」之和。

2是代表大偶數，1是代表質數。

其實也可以表述為，假設N是偶數，雖不能證明N是兩個素數之和，但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數都不太多。

用「a+b」來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。

於是，數學家們開始了經久不息的奮戰，一直「a + b」問題上推進。

1920年，挪威數學家布朗證明了「9 + 9」。

1924年，德國數學家拉特馬赫證明了「7 + 7」。

1932年，英國數學家埃斯特曼證明了「6 + 6」。

1937年，義大利數學家蕾西先後證明了「5 + 7」, 「4 + 9」, 「3 + 15」和「2 + 366」。

1938年，蘇聯數學家布赫夕太勃證明了「5 + 5」。

1940年，蘇聯數學家布赫夕太勃證明了「4 + 4」。

1956年，中國數學家王元證明了「3 + 4」。稍後證明了 「3 + 3」和「2 + 3」。

1948年，匈牙利數學家瑞尼證明了「1+ c」，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了「1 + 5」， 中國的王元證明了「1 + 4」。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了「1 + 3 」。

1966年，中國的陳景潤證明了 「1 + 2 」。

也就是說每一個大偶數都可以表示成一個質數和另一個質因數不超過2個的數之和。陳景潤發表的論文《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》引起了巨大的反響。

而另外三個研究方向三素數定理、例外集合、幾乎哥德巴赫問題仍然未能解決這一猜想。

哥德巴赫猜想何時才能解出？

300多年過去了，直到陳景潤「移動了群山」。哥德巴赫猜想至今未有實質性的進展，哥德巴赫猜想證明的困難在於，任何能找到的素數，在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+（2*3*5*7*。。。。。。*P-1）*PN前面的偶數減去任何一個素數PN的差必是合數.

如果說數學是科學的皇后，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠。在今年年初有一位高中生聲稱自己解出了哥德巴赫猜想，並問能不能保送清華，事實上短短四頁紙被網友指出了諸多邏輯錯誤。在數學的世界，遠遠不是寫寫公式做一下證明就能夠解開世界之迷題。

陳景潤早就說過：「根據多年來的經驗，數論中的不少世界著名難題，例如哥德巴赫猜想，費爾馬大定理等，具有初中畢業程度的同志們，經過自學都能明白其意思，但是對於它們的困難程度卻了解得很少，甚至沒有了解。

以至於許多同志，特別是許多青年同志，盲目的將許多精力浪費在用一些初等數論的辦法去證明這些世界著名難題，而不知道要想解決這些世界著名難題，首先需要學習許多非常高深的數論論文，還要經過多年刻苦研究，然後才有可能從事這方面的研究工作。

……

所以希望青年同志們不要走入歧途，不要浪費時間和精力。

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本文來源：知否 責任編輯：喬俊婧_NBJ11279

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