正、反比例及其運用
鄭祥旦
概念
一次函數y=kx＋b（k，b是常數，k≠0），
當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數（proportionality function），
在小學，k＞0，簡稱正比例，
正比例，英語翻譯為direct proportionality；
反過來說，
directproportionality，中文翻譯為「直接相稱性」。
在y是x的一個函數，記作
y=f（x）
稱x 為自變量，y為函數或因變量，並稱自變量的變域D為函數的定義域，而稱因變量的變域為函數的值域。這是歐拉的變量說。
反比例函數y=k/x的圖象是雙曲線，當k＞0時，其圖象分別位於第一、三象限，
在小學，只介紹在第一象限的圖象。
函數有三種表示方法：解析式法，表格法，圖象法。
函數涉及到定義域、對應規律和值域，
定義域、對應規律是確定函數的兩個要素，
在函數概念中最主要的是對應規律。
為什麼？
歸一問題：張大媽家上個月用了8t水，水費是28元；李奶奶家用了10t水，水費是多少元？列式計算：28÷8×10=35（元）。
歸總問題：一個辦公樓原來平均每天照明用電100千瓦時。改用節能燈以後，平均每天只用電25千瓦時。原來5天的用電量現在可以用多少天？列式計算：100×5÷25=20（天）。
用算術法，很快就求出結果，
為什麼要繞一個圈子去用比例來解答？
或者說，用比例解決問題的教學價值何在？
除了列比例式，還可以怎樣解答？
教學建議
閱讀課文。
首先，呈現函數的表格法，數量是自變量，確定它的定義域；
總價是因變量，在給定單價後，可與學生互動計算對應的數值，
計算可能用到累加法，也可能用到乘法，實則兩者是統一的。
觀察表格，看出來的有：
兩種變量，
數量變化，總價隨著變化，換一種說法，總價是隨著數量的變化而變化的；
想出來的有：
對應規律，由乘法想到除法，想到比，得出結論：比值一定。
其次，呈現解析式法。
對比值下定義，即為單價，
用式子表示：
總價/數量=單價。
對表格法和解析式法進行反思，得出正比例的概念。
進一步鎖定對應規律，如果有兩種相關聯的量y和x，它們的比值k（一定），那麼y和x是成正比例的量，用式子表示：
y/x=k。
再次，呈現圖象法。
用數對表示表格中的數據，在圖中描出各點，相鄰兩點用線段連接，發現結論：形成一條直線。
增加描點，發現結論：直線可不斷延長。
根據圖象，求出應對的數量。
根據圖象，對數量作進一步分析，如倍數關係。
最終結論：
正比例，有3種表示方法，
反過來，
有其中的一種表示方法，就可以推出另兩種方法，也說明兩個變量是成正比例的量。
進一步說，用正比例解決問題，可以用這三種方法中一種方法，
三法合一，是最好的理解。
反比例的教學方法與正比例相似，
唯一不同的是相鄰兩點用不能用線段連接，而是用平滑的線連接。
教學的最大問題是三法未能歸一，需要加以改進。