意猶未盡的壓軸題——解析2020湖南岳陽中考23題（壓軸題）試題

（2020•嶽陽-23）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P，Q分別從C點，A點同時以每秒1個單位長度的速度出發，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運動，當點Q運動到點B時，P，Q兩點同時停止運動．設點P運動的時間為t（s），連接PQ，過點P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交於點E，連接QE．

（1）如圖2，當t＝5s時，延長EP交邊AD於點F．求證：AF＝CE；

（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關係，並加以證明；

（3）如圖3，當t s時，延長EP交邊AD於點F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求AF：CE 的值．

試題分析及動畫製作講解連結：

【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，再判斷出CP＝AP，進而判斷出△APF≌△CPE，即可得出結論；

（2）先判斷出AF＝CE，PE＝PF，再用勾股定理得出AQ^2+AF^2＝QF^2，即可得出結論；

（3）先判斷出△FAQ≌△FPQ（AAS），得出AQ＝PQ＝t，QF垂直平分AP，利用Cos∠BAC求得AP=6/5t，再判斷出△AFP∽△CEP，得出AF：CE=AP：CP=6:5.

【解析】

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根據勾股定理得，AC＝10，

由運動知，CP＝t＝5，

∴AP＝AC﹣CP＝5，

∴AP＝CP，

∵AD∥BC，

∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，

∴△APF≌△CPE（AAS），

∴AF＝CE；

（2）結論：AQ^2+CE^2＝QE^2，

理由：如圖，

連接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，

∴AF＝CE，PE＝PF，

∵EF⊥PQ，

∴QE＝QF，

在Rt△QAF中，根據勾股定理得，AQ^2+AF^2＝QF^2，

∴AQ^2+CE^2＝QE^2；

（3）如圖3，設QF交AC於點M

由運動知，AQ＝t，CP＝t，

∵FQ平分∠AFE，

∴∠AFC＝∠PFQ，

∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，

∴△FAQ≌△FPQ（AAS），

∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，

∴QF垂直平分AP，即AP=2AM

∵Cos∠BAC=AB：AC=AM：AQ

∴6:10=AM：t

∴AM=0.6t

∴AP=2AM=1.2t

∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，

∴△APF∽△CPE

∴AF：CE=AP：CP=6:5

這道題給人以意猶未盡的感覺，還有很深的挖掘空間，比如問點Q落在角AFP的平分線上時的t值，QE與AC平行時的t值，線段CE的最大值，或者把點的運動延伸到射線方向上，從而衍生出其他的問題……

歡迎大家留言探討！

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