解析2020吉林省中考數學25題（壓軸題）

2020-08-27 龍老師數學工作室

2020吉林省中考--25--分值10

如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,動點 A出發,以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動， 過點P作PQ⊥AB,交折線AC---BC於點 Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD,使點A,D在PQ異側,設點P的運動時間為x(s)(0<X<2),△PQD與△ABC重疊部分圖形的面積為y(cm^2).

(1)AP長為 cm (用含x的代數式表示）

(2)當點D落在邊BC上時,求x的值

(3)求y關於x的函數解析式，並寫出自變量x的取值範圍.


試題分析及動畫製作講解連結：

解析：

解:(1)∵動點P從點A出發,以2cms的速度沿AB向點B勻速運動,∴AP的長為2xcm


也可以藉助PD=PQ建立方程求解，則不需證明全等，詳細分析見視頻。

2)當點D落在BC上時,如圖1,BP=AB-AP=4-2x

△PQD等邊三角形,△ABC是等邊三角形,

∴∠A=∠B=∠DPQ=60°

∴∠BPD=30°

∴∠PDB=90°,

∴PD⊥BC,

∴△APQ≌△BDP(AAS),

∴BD=AP=2x

∵BP=2BD,

∴4-2x=4x,解得y=2/3


3)①如圖2,當0<x≤2/3時

圖2 在Rt△APQ中,AP=2x,∠A=60°,∴PQ= AP.tant60°=2√3x

∵△PQD等邊三角形

∴y=0.5X2√3xX3x=3√3x^2,

②當點Q運動到與點C重合時，此時CP⊥AB,所以AP=0.5AB,即2x=2,解得x=1

所以當2/3<x≤1時,如圖,設PD、QD與BC分別相交於點G、H


圖中證明方法詳見視頻



③如圖,當1<x<2時,點Q運動到BC邊上,設PD與BC相交於點G

此時PG= BP.sin60°=(4-2x)X√3/2=√ 3(2-x)

∵PB=4-2x,

∴BO=2BP=2(4-2x)=4(2-x)

∴BG=ABP=2-x,

∴QG=BQ-BG=3(2-x),

∴重疊部分的面積為 S△PQG=1/2×PG*OG=3√3/2*(2-x)^2

綜上所述:y關於x的函數解析式為:


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