美國學者稱:可用簡易方法證明費馬大定理

2020-12-11 環球網

據美國《科學日報》報導,美國哲學家和數學家科林·邁克拉蒂日前稱：用皮亞諾算術(Peano Arithmetic)證明費馬大定理比英國數學家安德魯·懷爾斯所用的方法簡單和所用的公理少,而且大多數數學家都容易看懂和理解。其言論一出,震驚了學界。

1637年，法國數學家皮埃爾·費馬在研讀古希臘數學家丟番圖所著的《算術》一書Ⅱ卷第8問題時,在該題頁邊空白處寫下了令世人困惑不解的一則簡短評註:……一般來說,一個次數大於2的方冪不可能是兩個同次方冪之和。這就是著名的費馬大定理(也稱「費馬最後定理」);它用不定方程表示為X^N+Y^N=Z^N(其中X、Y、Z都是非零整數),當整數N大於2時此方程沒有正整數解。費馬還稱自己「已有一個對此命題的十分美妙的證明，但這裡空白太小，寫不下。」

此後的350多年間,雖然許多數學家及眾多的業餘數學愛好者試圖解決費馬大定理,並為之絞盡腦汁,但都未得出證明。1995年,懷爾斯用現代數學的方法證明了費馬大定理;此事成為轟動全球的重大新聞。不過他的證明深奧而冗長：用到了模形式、谷山-志村猜想、伽羅瓦群和科利瓦金-弗萊切方法等深奧的數學知識,濃縮的論文達130頁;另外,世界上能看懂其證明的頂級數學家寥寥無幾。這與費馬當時的證明構想相差甚遠。因此,不少人相信費馬大定理應該有一個巧妙且簡易的證明(但也有人認為17世紀的數學工具不可能證明這一命題)。

邁克拉蒂2003年開始尋找費馬大定理證明的簡易方法，他在2010年第3期《符號邏輯公告》上曾發表過題為「用什麼來證明費馬大定理?格羅滕迪克與數論的邏輯」的論文。其文探討了目前公布的證明費馬大定理所用的集合論假設，懷爾斯如何使用這些假設，以及使用較弱的假設證明費馬大定理的前景。他的一些觀點引起了人們的關注和討論。讀過這篇論文的中國數學家和語言學家周海中認為,邁克拉蒂從數學哲學的角度分析了證明費馬大定理所用的公理化方法,提出了某些與他人有本質不同的觀點,為解決數論難題提供了一種有益探索和嘗試。

今年1月,邁克拉蒂在美國聖地牙哥舉行的聯合數學會議上報告了他用皮亞諾算法證明費馬大定理的初步成果。美國數理邏輯學家哈維·弗裡德曼認為,邁克拉蒂的工作邁出了第一步,希望他的工作擴大到是否僅由數字而不用集合就可以證明這一定理。邁克拉蒂說,「我相信是可以做到的，但它需要許多對數字的新見解，這將是非常困難的。」

今年5月,邁克拉蒂將在加拿大滑鐵盧大學舉行的北美符號邏輯協會的年會上對具體結果作進一步的討論。他是否真的找到證明費馬大定理的簡易方法?讓我們拭目以待!(黃斌 寫於日本京都大學)

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    三個世紀過去了，每一次試圖證明費馬大定理的嘗試都無果而終。一代又一代的數學家已經在這個問題上耗盡了信心。
  • 懷爾斯用新方法證明了費馬大定理,數學界認為費馬本人都未曾證明
    如果它是一道裂縫，一個無法修補的缺陷，那將使得整個大定理的證明崩塌殆盡。 費馬去世後，他的兒子Samuel出版了一本新版《算術》，裡面囊括了他老爹在頁邊空白處所做的所有筆記。筆記中的數學命題，往往沒寫下證明過程，留下了一個極為誘人的挑戰。幾年內，讀者幾乎證明出了所有命題，除了那個關於高維勾股數組的命題，那是「最後一個」未能被證明的命題（費馬大定理也稱作「費馬最後的定理」）。
  • 費馬小定理的證明
    費馬小定理：若p是素數，n為不能被p整除的正整數，則上一次我曾用二項式定理的二項式係數和數學歸納法證明了費馬小定理。今天，我再給出另一種證明方法，這個方法更加簡潔、巧妙。我想，用具體的p和n可能更加易於您的理解。我們取素數p=13。
  • 費馬小定理
    費馬小定理問題的提出對於任意給定的一個自然數
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    之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。根據法文實際發音並參考英文發音，他的姓氏也常譯為「費爾瑪」（注意「瑪」字）。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名「最後」的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為」業餘數學家之王「。
  • 費馬大定理:費馬自己故意不寫證明,坑了數學家們358年
    費馬簡介而當他真正動手計算時，他就換上了當法官時的嚴謹。正是這樣的靈活轉變，才使得費馬創造出了費馬大定理。費馬大定理的闡述並不複雜，可令人奇怪的是，費馬自己並沒有給出來證明過程。這個傢伙開始調皮了，他在費馬大定理的手稿旁邊留下了一句話，大意是我已經想出了一個很巧妙的證明方法，但是紙已經沒地方寫了，那我就省略了。實際上他的手稿還有一片不小的空白，他在故意的引誘其他數學家。這種手段他也不是第一次做了，很多他研究出來的難題他都沒有留下關鍵的證明過程，寫到最後他耍無賴，給出了不寫的各種理由。
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    費馬通過研究最終得出結論：任何立方數都不可能寫為兩個立方數之和的形式；也沒有任何四次方數可以寫為另外兩個四次方數和的形式，普遍的說，任何2次以上的冪都不可能寫成另外兩個同次冪的形式，費馬得出的這個結論後來被稱為「費馬最後定理」。
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    這是一種採用眾數和mod值的比較方法來證明費馬大定理。核心內容就是構造了眾數之和mod值間的運算系統，並且採用數學基礎法則去證明它的特徵值，然後比較特徵值，得到我們想要的結果：當整數n > 2時，關於x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 無正整數解。
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    但當時真實的場面卻是如此火爆，學者、記者擠滿了演講廳，遲到的人只能站在走廊，踮起腳透過窗戶看。他們等待的不是黑板上那些奇形怪狀、秘密麻麻的希臘字母和函數，而是一個歷史性時刻：困惑人類358年的「費馬大定理」將被最終攻克。
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    在費馬最後定理的具有裡程碑意義的證據之後數十年，對如何使其更加可靠的想法比比皆是。但這些努力反映了對證明如此重要的原因的深刻誤解。去年6月23日，安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）宣布他已經證明了費馬的最後定理，解決了350年前最為著名的數學問題。
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    到十九世紀早期，數學家們已經解決了費馬所有的猜想——除了這一個，這也致使這個遺留的問題被冠以「費馬大定理」的名號。（不妨告訴你，費馬「倒數第二大定理」是被柯西在1813年證明了。）費馬聲稱他關於費馬大定理的證明是「絕妙的」給人類知識的鴻溝增添了額外的悽美。
  • 費馬大定理為什麼敢叫「大」定理?
    關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下」大約1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道。恰好他讀到了前人一篇試圖證明費馬大定理但是失敗了的論文。更不可思議的是，他發現了其中一行證明邏輯上有個漏洞，而這個漏洞可能導致費馬大定理得到證明！於是，他開始了全神貫注的證明工作。最後，他補救了該論文的證明，得出的結論 是：「費馬大定理不可證」不見得是真命題。
  • 從組合數學角度理解費馬小定理
    當然，費馬本人並沒有給出數學證明。據考證，歷史上第一個證明費馬小定理的人是德國數學家萊布尼茨。費馬作為「業餘數學家之王」，總是幹這種事情，費馬大定理也是如此，足足讓後人折騰了三百六十多年才最終由英國劍橋數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）得到證明。
  • 數理史上的絕妙證明:費馬大定理
    來源：「返樸」公眾號（ID：fanpu2019）作者：曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）費馬宣稱自己證明了但在書邊寫不下證明過程的那個猜想，後來變成了費馬大定理。三百多年來，費馬大定理的證明吸引了大批數學家前僕後繼，也產生了諸多無心插柳式的成果。如今，費馬大定理算是得到了證明，但也許我們還是可以期待費馬曾以為得到過的那種簡明的證明。
  • 費馬—業餘數學家之王
    皮埃爾 ·德·費馬是17世紀法國的一位律師，也是一位業餘數學家。技術上稱他是「業餘的」，是因為他有一份日常的律師職業，權威的數學史學家E·T·貝爾在他20世紀早期所寫的著作裡，恰當地稱費馬為「業餘數學家之王」。貝爾相信費馬取得的成就比他同時代的大多數「職業」數學家的更重要。
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    費馬宣稱自己證明了但在書邊寫不下證明過程的那個猜想，後來變成了費馬大定理。三百多年來，費馬大定理的證明吸引了大批數學家前僕後繼，也產生了諸多無心插柳式的成果。如今，費馬大定理算是得到了證明，但也許我們還是可以期待費馬曾以為得到過的那種簡明的證明。
  • 費馬大定理,難道只有一種證明方法?就沒人問這事?
    ；那個偉大的畢達哥拉斯定理，已經擁有幾百種證明方法；好吧，現在，可不可以問：你推崇的費馬大定理，為什麼不去追求第二種證明方法？看清楚，是用兩種方法來證明看看你給她的名字，就知道她有多麼重要；大定理，是大定理，你甚至稱呼她---費馬終極定理；