等腰三角形中的分類討論

　漫不經心的活著　　也是一道唯美的風景

在等腰三角形相關的題目中，特別需要注意分類討論思想的運用。這期我們就介紹幾種常見的題型。

1、關於角的討論

例1 如果△ABC是等腰三角形，且∠A=80°，則頂角的大小是              。

解析：分兩種情況討論，若∠A為底角，則頂角為20°；另一種情況∠A是頂角。

答案：20°或80°

拓展1：在例1中，當∠A=80°時，底角的大小是             。

答案：50°或80°

拓展2：在例1中，當∠A=80°時，∠B=         °。

答案：50°或20°或80°  （分三種情況討論: ∠A是頂角；∠A是底角，∠B是頂角；∠A、∠B都是底角。）

拓展3：在例1中，當∠A=100°時，∠B=         °

答案：50°

拓展4：在例1中，當∠A=x°時，求∠B的大小。

答案：當0＜x＜90時，∠B為x°或（180-2x）°或（90-0.5x）°。

當90≤x＜180時，其他兩個角的大小分別為（90-0.5x）°。

說明：在等腰三角形中，當已知角小於90°時，它可能是頂角或底角，需要分情況討論；當已知角是直角或鈍角時，它只能是頂角。

2、關於邊的討論

例2已知△ABC是等腰三角形，且AB=6，BC=8，則△ABC的周長等於              。

答案：20或22

解析：若AB是腰，則周長=6+6+8=20；若BC是腰，則周長=6+8+8=22.

拓展1：已知△ABC是等腰三角形，且AB=4，BC=8，則△ABC的周長等於              。

答案：20 （當三邊分別為4、4、8時，不符合三角形三邊關係，所以只有4、8、8一種情況）

拓展2：等腰三角形△ABC周長等於20，且一邊長為8，則其他兩個邊長分別是              。

答案：6，6或8，4

拓展3：等腰三角形△ABC周長等於20，且AB=8，則BC=              。

答案：8或4或6

拓展4：等腰三角形△ABC周長等於20，且AB=4，則BC=              。

答案：8

注意：此類題中，一要討論已知邊是腰或底邊，二要分析所得結果是否符合三角形的三邊關係。

3、關於高的討論

例3 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角是30°，則這個等腰三角形的頂角等於 　　　。

答案：60°或120  °

若頂角為銳角，如圖1，可得∠A=60°；若頂角為鈍角，如圖2，可得　　　∠ＢAＣ=120°

拓展1：等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角是x°，則這個等腰三角形的頂角等於      °。

答案：（９０－x）°或（90+x）°

拓展2：若等腰三角形的頂角等於x°，則一腰上的高與另一腰所成的夾角是        °。

答案：（９０－x）°或（x-90）°

說明：三角形的高的位置與三角形的形狀有關，對於等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形的內部；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形的外部。如果已知條件中沒有給出頂角的大小，要注意分類討論。

4、關於中線的討論

例4 若等腰三角形一腰上的中線分周長為12cm和18cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊和腰的長。

解析：如圖4，在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線。

已知條件中沒有指明哪一部分是12cm，哪一部分是18cm，所以需分兩種情況討論.

第一種情況:  AD+AB=12  CD+BC=18

第二種情況：AD+AB=18  CD+BC=12

設AB=x， BC=y，由上可得以下兩個方程組

所以這個等腰三角形底邊和腰分別是14cm、8 cm或6 cm、12 cm.

拓展：若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和18cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

解析：按照例4，同理可得，等腰三角形底邊和腰分別是15 cm、6 cm或3 cm、12 cm。請同學們思考一下底邊是15 cm，腰長是6 cm的等腰三角形存在嗎？

正確答案：底邊是3ｃｍ，腰長是12ｃｍ

說明：這類題要特別注意所得結果要符合三角形的三邊關係。

5、關於中垂線的討論

例5　在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則頂角∠A=_______。

解析：當ΔABC是銳角三角形時，如圖5，可求得∠A=50°。

當ΔABC是鈍角三角形時，如圖6，可求得∠BAC=130°。

所以∠A=_５０°或１３０°。

拓展：在ΔABC中，AB=AC， AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為x°，則頂角∠A=_______。

答案：（90-x）°或（90+x）°

注意：在等腰三角形的此類題目中，頂角是鈍角的情況不要忽略。

6、關於等腰三角形存在性的討論

例6　如圖7，在平面直角坐標系xoy中，已知A（0，3），B(4，0)，連接AB，在ｘ軸是否存在點Ｃ，使△ＡＢＣ是等腰三角形，如果存在，請求出點Ｃ的坐標；如果不存在，請說明理由。

解析：如圖８，我們作「兩圓一線」，即分別以Ａ，Ｂ為圓心，以ＡＢ為半徑作圓，兩個圓與ｘ軸有三個交點（Ｂ點除外），Ｃ１、Ｃ３和Ｃ４；作ＡＢ的垂直平分線交ｘ軸於Ｃ２.

故符合條件的點有４個。

由勾股定理易得，ＡＢ＝５，

由ＢＣ１＝ＡＢ＝５，得Ｃ１（９，０）；

ＡＢ的垂直平分線ｘ軸於點Ｃ２，則ＡＣ２＝ＢＣ２，由勾股定理、相似三角形或三角函數知識都可得Ｃ２（０．８７５，０）；

由ＢＣ３＝ＡＢ＝５，得Ｃ３（－１，０）；

由ＡＣ４＝ＡＢ＝５，得Ｃ４（－４，０）．

拓展：如圖９，已知線段ＡＢ的端點Ｂ在直線ｌ上，ＡＢ與直線ｌ的夾角是４５°，請在直線ｌ上另找一點Ｃ，使△ＡＢＣ是等腰三角形，這樣的點Ｃ有（　　）個。

Ａ、１個　　Ｂ、２個　　Ｃ、３個　　Ｄ、４個

解析：如圖１０，作「兩圓一線」，易知有４個，選Ｄ。

歸納：在與等腰三角形相關的題中

１、若題中沒有明確給出頂角的大小或範圍，一般要分類討論頂角是鈍角或銳角兩種情況，有時還需考慮頂角是否是直角。

２、若已知條件不明確，一般要考慮已知邊是底邊或腰兩種情況。

３.一般用「兩圓一線」分析解決點的存在性問題。

 

這期就到這裡，朋友們，下期再見！

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