很多數學系學生可能大三才剛剛接觸「組合數學」，而一位21歲的MIT本科生已經悄悄解決了這個分支中最重要的一個理論——拉姆齊數。
他就是Ashwin Sah，2016年的IMO金牌獲得者，2018年還獲得過首屆阿里巴巴全球數學競賽銀獎。
並且，他只用了兩年半就順利從MIT畢業。
這個拉姆齊數讓20世紀最高產的天才數學家保羅·埃爾德什研究了一生，無數數學家前赴後繼，其中不乏阿貝獎得主，如今被Sah的研究又向前推進一大步。
對於Sah在圖論上取得的前沿突破，加州理工學院的David Conlon教授如此評價：
他作為本科生，已經做了足夠勝任教職的工作。
因為這項矚目的成就，外媒Quanta Magazine近日對這位「天才少年」進行了深度採訪。
那麼他研究的「拉姆齊數」究竟是什麼？在數學裡又有著怎樣的重要意義？
提升拉姆齊數上限，推動圖論前沿進展想知道Sah推動的拉姆齊數研究是什麼，先要了解拉姆齊定理。
關於這個定理，有一個簡單的應用實例：
在6個人當中，無論他們之間的關係如何，必定有3個人互相認識，或者3個人互不相識。
如果用圖論的方法來思考，可以這麼證明：
假設兩個人之間如果互相認識，就用藍色線連起來，如果彼此不認識，就用紅色線連起來，那麼無論怎麼連線，必然能在6個點中連出三邊同色的三角形。
但如果只有5個人的話，很快就能找到一種連不出同色三角形的方法。
小於5的數，也能被用同樣的方法證明不符合這一結論。
現在，就可以引出拉姆齊數的定義了：
找一個最小的自然數R(k,l)=n ，使得n個人中必定有k個人互相認識或l個人互不相識。
其中，n就是拉姆齊數。
也就是說，R(3,3)=6，這裡的6就是拉姆齊數。
看起來拉姆齊數似乎並不難找，但當頂點數稍微增加一點時，求解拉姆齊數的難度卻會大大增加。
1930年，拉姆齊本人求出R(3,3)=6，1995年，數學家把求解推進到R(4,5)=25，至於R(5,5)是多少，數學家到現在也不知道，只知道它介於43到48之間。
這是為什麼呢？
想像一下，要連線的頂點數從6個變成了40個，哪怕只用2種顏色隨機在兩點間連線，也有2780種方法。
△28個頂點，連一次線就已經達到這種密度換算下來，就是要進行6.35×10234次連線判斷，對比宇宙中所有的粒子總數，也不過3.28×1080個。
這還只是2種顏色的情況，至於3種顏色、4種顏色……
要在這麼多種連線的組合裡，找到5個點兩兩相連是否必然存在的情況，幾乎是不可能做到的事情。
雖然無法求出拉姆齊數的準確值，但是數學家們一直在想辦法限制其範圍。
對於R(5,5)來說，其上限和下限分別就是48和43。
從1930年起，就有科學家開始研究拉姆齊數的上下限的公式，來縮小拉姆齊數的範圍。
著名數學家保羅·埃爾德什研究了幾十年，得到了一個著名的上下限公式：
然而這個範圍還是不夠小。
Ashwin Sah在今年5月提出的證明方法，基於2009年Conlon的論文進行了改進，並提出了兩種顏色的拉姆齊數的新上限。
論文給出的推論，被許多業內人士認為是使用現有研究線索可以獲得的最佳結果。
他給出的上限計算公式，對於R(4,4)以上的拉姆齊數都有效。
目前這一論文所採用的方法，已經被少數數學家進行了優化。
對此，David Conlon教授表示：
他將這種方法推理到了極限。
能被開創這種方法的作者給予如此高度的評價，也說明了Sah所完成工作的難度和前沿性。
10月29日，專門針對美國、加拿大和墨西哥大學生在數學領域表現優異的摩根獎，授予了Sah和另外一名學生Mehtaab Sawhney，以表彰他們本科時期在離散數學、概率等領域作出的貢獻。
相較於同齡人，在本科階段就能達到這樣的數學水平，也與Sah的成長經歷密不可分。
從小展露數學光芒除了自身的天賦外，Sah一直保持著對數學的鑽研精神。
外媒Quantamagazine給予他這樣的評價：
A Life of Math.
這不僅僅是基於他在近期取得的成就，而是從小就與數學結下了的不解之緣。
Ashwin Sah出生在美國俄勒岡州的波特蘭市，他在回憶兒時情節時表示：
我現在比較印象深刻的兒時記憶，是媽媽在教我一些基本的算術。
△ 11歲的Ashwin Sah在做數學題2016年夏天，年僅16歲的他，便在香港舉辦的國際數學奧林匹克競賽（IMO）中，斬獲金牌。
可以說，Ashwin Sah在一次次的競賽中，「品嘗」到了高等數學的魅力。
緊接著第二年，也就是在17歲的年紀，他便順利進入MIT。
兩年半MIT畢業，師從華裔教授趙宇飛事實上，從2017年進入MIT學習，到2020年本科畢業、讀上研一，Ashwin Sah也只用了兩年半的時間。
自2018年1月以來，到今年11月，算上預印本，Ashwin Sah一共發表了27篇論文。
他的本科論文已經有引用量，最高的一篇有8人引用，這篇是關於不規則圖中獨立集的數目的。
其他兩篇引用較高的文章，雖然人數不多，但他也都是一作。
即使部分還是預印本，但本科期間就能獲得這麼多的研究成果，的確不得不令人讚嘆。
除了自身的天賦與努力外，還有2位「伯樂」般的人物，對他的數學發展起到了至關重要的作用。
首先是他的導師，MIT華裔知名數學教授趙宇飛。
在MIT的第一年，Ashwin Sah修了一門課程，是與組合數學相關的研討會。
但要知道，這門課程難度是研究生水平，而且匯集了全世界頂尖數學人才。
但即便如此，Ashwin Sah也在此脫穎而出。
作為這門課程的老師，趙宇飛這樣評價道：
儘管他只是大一的學生，但很顯然，他已經掌握了這門課程。
第二位重要人物，是比Ashwin Sah高一年級的學長，Mehtaab Sawhney。
Mehtaab Sawhney是在課堂上與Ashwin Sah相識，很快便成為了朋友。
這期間，他們共同進行了許多研究，主要與離散數學相關，包括其中的圖論、概率和隨機矩陣等。
但當時他們的所學知識還是有一定的局限，所以解決的問題普遍都比較簡單，是不需要多年經驗積累的那種。
正如Mehtaab Sawhney所說：
我喜歡解決的問題，是那種可以從基本原理開始思考，而不是那些需要翻閱大量的文獻，或者擁有大量理論基礎才能思考的問題。
趙宇飛教授也會對他們進行指導，例如教他們如何寫正式的論文。
他還會「派」給他們一些特定的問題，讓他們去做研究，本以為會讓他倆忙活一段時間。
但令趙宇飛萬萬沒有想到的是……往往第二天，他們就把答案給交上來了。
就是如此的動力和效率，讓他們在短短三年的時間裡，能夠完成幾十篇論文。
趙宇飛對他們的評價非常之高，認為是他們所取得的成就是史無前例：
（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。
目前，這兩位小夥伴已經步入研究生生涯，他們還是保持著高頻率的「會面」，用Sawhney的話就是：
我們每天見面一兩次，每次五六個小時。
即便存在疫情等客觀原因，他們還是會保持非常高頻率的信息互動。
「羨慕有研究方向高度重合的夥伴」對於學生的報導，MIT助理教授趙宇飛第一時間進行了轉發，表示祝賀。
網友們也第一時間送上了自己的祝福，並表示這樣的故事非常激勵自己，「就像一盆冷水潑到我的臉上，提醒我繼續不斷努力。」
也有人單純對這份研究進展感到驚喜，並引用了Paul Erdos有關拉姆齊數的表述：
如果外星人要入侵地球，除非我們能給出R(5,5)的答案，那我們就算是有最聰明的人和計算機，也得用一年時間；要是外星人要R(6,6)的答案的話，那別想了，我們主動進攻吧。
當然，對於他的研究經歷，更多的是表示羨慕的網友：找一個研究方向高度重合的夥伴，共同提升效率，可是件非常不容易的事情。
那麼，對於Ashwin Sah的經歷，你有什麼感想？
歡迎在評論區留言~
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2005.09251
參考連結：
https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/
http://www.ams.org/prizes-awards/paview.cgi?parent_id=19
http://www.mit.edu/~asah/research.html
https://yufeizhao.com/blog/
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