2年半就從MIT本科畢業,他破解了數學界數十年未解難題:同行認為他的成就足以申請大學教職

2021-02-21 科研圈

本文轉載自公眾號「DeepTech深科技「

撰文 胡巍巍

21 歲的本科生，推動了幾十年懸而未決的數學難題。他就是麻省理工學院（MIT）數學系的 Ashwin Sah，其用手中的筆和草紙，助力拉姆齊數（Ramsey number）問題的解決，而該問題這是組合數學（Combinatorics）領域最重要的問題之一。

「Ashwin 解決的難題是數學組合學的核心問題。Ashwin 之所以能解出，是因為他發現了一些新的數學方法，而每一次突破成果的出現，都意味著新的數學工具即將誕生」，Ashwin 的導師 ——MIT 數學系華裔助理教授、斯隆獎和 Dénes König 獎得主趙宇飛告訴 DeepTech。

圖 | Ashwin Sah

什麼是拉姆齊數？

拉姆齊數主要用於表示完全的無序是不可能的，即一個集合的元素數量達到特定臨界點後，肯定會出現預先定義的某種性質或結構。

以拉姆齊數的經典案例鴿籠原理為例，10 只鴿子放進 9 個鴿籠，那麼一定有一個鴿籠放進了至少兩隻鴿子。

圖 | 鴿籠原理（來源：維基百科）

同樣的案例還有，要保證一群人中一定有兩個人的生日是同一天，那麼至少需要 367 個人。其他例子還有，6 個人中必有 3 個人相互認識或相互不認識；一群人裡面一定有兩個人的生日是同一天等。想要的團規模越大，計算出精確的拉姆齊數就會越困難。

20 世紀 30 年代，Paul Erdős 和 George Szekeres 兩位數學家曾研究過拉姆齊數的上下界，此後至今該問題一直讓數學界 「一籌莫展」。

匈牙利數學家 Erdős Pál 曾這樣描述尋找拉姆齊數的難度：「想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得 R (5,5) 的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若它們要求的是 R (6,6) 的值，我們可能要嘗試毀滅這隊外星人了。」

而在 2020 年 5 月，Ashwin 通過優化 Erdős 和 Szekeres 的方法，拓寬了拉姆齊數的研究邊界。其文章主要內容是，如果有六個頂點，它們互相通過邊來連接，此外還有 15 條邊著色，我們可以將每條邊塗成紅色或藍色。但是不管怎麼著色，總會有三個頂點之間以同色邊相連，這種現象被稱作團（clique），而假設是 5 個頂點，情況就會發生變化。基於此，兩種顏色、且團的規模為 3 的拉姆齊數為 6，也就是說要保證團的存在，至少得有 6 個頂點。他的文章證明，一旦圖達到特定大小，就必然包含具備對應規模的團。


多位學者認為，Ashwin 的證明是當前條件下，能達到的最佳結果。此前曾研究出該問題的最佳上限的加州理工學院數學教授 David Conlon 表示，他將這一方法推向邏輯極限，並認為雖然是本科生，但他完成的工作足以使他獲得一份教職。

圖 | Ashwin Sah 的文章

談起首次注意到 Ashwin，趙宇飛向 DeepTech 回憶稱，Ashwin 讀大一時，趙宇飛在 MIT 教授研究生級別的數學組合課。當時還是大一新生 Ashwin 跑來聽他的課，趙宇飛感到很驚訝，同時也擔心 Ashwin 可能還沒準備好。但通過課後交流，發現 Ashwin 都能聽懂。除了上趙宇飛的課，他還參加數學組合學的研討課。

 圖 | 趙宇飛（來源：受訪者）

在四萬多名選手中斬獲銀獎

Ashwin 本人較為深刻的童年經歷，是媽媽叫他學算數，這位出生於美國俄勒岡州的 00 後，曾於 16 歲時斬獲國際數學奧林匹克競賽（IMO）金牌，18 歲時他又獲得首屆阿里巴巴全球數學競賽的銀獎，全球四萬多名參賽者，僅有 20 名選手獲得金銀銅獎。

圖 | 11 歲時在做題的 Ashwin


習慣用博客記錄學生進步的趙宇飛曾這樣寫道：「Ashwin 已經有大量的論文清單」，同時 「我很高興 Ashwin 將留在 MIT 攻讀博士學位。」 

與此同時，趙宇飛還推動了 Ashwin 和他的另一名學生 Mehtaab Sawhney 的合作。

圖 | Ashwin 和 Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney 是 Ashwin 的小夥伴。Mehtaab 也參加了趙宇飛的研究生組合學課程，因此他倆特別熟，經常一起上課和討論。


趙宇飛發現後，跟他們談話說：「你們倆（既然）對於組合學都很感興趣，那麼可以嘗試一起研究課題」。而他倆的正式合作也從這裡開始，合作過數十篇論文，並解出很多趙宇飛一直想解的課題，對此他評價稱：「本科生研究傳統由來已久，但不管是數量還是質量，無人能及 Sah 和 Mehtaab。」


而基於此前合作成果，Ashwin 和 Mehtaab Sawhney 於今秋獲得由美國數學學會（AMS）、美國數學協會（MAA）和工業與應用數學學會（SIAM）共同評定 2021 摩根獎（Morgan Prize），該獎項主要授予表現出色的美國、加拿大或墨西哥的數學專業大學生，獎金為 1000 美元。而趙宇飛作為導師，其價值之一便是獲悉學生背景後，幫他們找到合適課題。

數學生的「無知者無畏」

趙宇飛的很多學生和 Ashwin 一樣，對組合數學領域有著濃厚興趣，其中包括 MIT 華人學生姚遠、張盛桐和餘鴻勳，他們都是國際奧數競賽金牌得主。目前，姚遠和張盛桐已經加入趙宇飛的科研團隊，並與 MIT 博士後姜子麟、博士生 Jonathon Tidor 一起利用圖論方法，解決了幾何學中長期未解決的等角線問題。其中，餘鴻勳在趙宇飛的指導下，對離散幾何課題（Joints Problem）做出重大突破，並延伸了多項式這一前沿數學方法。

數學是特別容易出年輕天才的領域，而被評為 MIT 優秀導師的趙宇飛表示，在跟學生相處時，他經常受到鼓舞啟發。因為一個從未見過太多數學方法的學生，一定程度上的 「無知者無畏」，反而能想出看起來很奇怪、但其實非常新的方法。有時學生做出的結果，連數學專家都未必能想出來。

不過他認為，學數學天賦和積累都重要，數學需要很強的功底，而不管做什麼研究，都是辛苦且漫長的過程，一個數學課題有時整整一月都毫無進展，因此即便有天賦的學生也會半途而廢，但再堅持一下，可能就會在某天突然想到新方法。

趙宇飛認為，學習數學最重要的是思想方法，而不是機械性地解固定題目。所謂數學不是給個公式就去算題，數學是一種分析型的創造性學科，像 Ashwin 做出來的結果，是他自己閱讀很多論文後，發現這是他的興趣點，然後才投入時間去研究。

在 MIT 工作的趙宇飛，經常接觸到能力很強的中國留學生，他很願意指導中國留學生，並希望他們能更主動地找他探討問題。他認為，中國的教育機制讓學生們打下了紮實基礎，但很多學生只是被動地期待導師來布置課題，而非積極探索熱愛的方向，這樣或許可以取得一些短期成績，但不利於取得重大進展。


Ashwin 的成果，離不開趙宇飛的指導，未來在教學方面他會把多年研究成果，整理成研究生組合學課程的教學材料，並把教學視頻放在 MIT 公開課網站上。他還希望能把這一課程寫成一本書，從而給更多從事數學研究的學生創造一個接觸組合數學的窗口。 

提到數學畢業生的出路，趙宇飛表示，數學出身的人當然可以做含數學在內的學科研究，比如去做計算機、經濟學、運籌學，數學教給他們的思想方法在很多學科都管用。如果不想留在學術界，他們可以去金融公司或者科技公司，這些公司都很重視數學好的學生。

本文轉載自公眾號「DeepTech深科技」

（ID：deeptechchina）

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