在數列極限這一章中，首先，引入了基本的極限的定義、性質及四則運算之後，教材中介紹了至少6個求極限的方法。
隨後，有了收斂的性質，知道了收斂數列有什麼特性，比如說收斂的有界性，也就是收斂必有界，定理2.2.2（這個是判斷收斂的必要條件）。
那麼反過來，有界數列必收斂嗎？
不一定吧，舉個反例，sin(n*\pi/4).我們更想知道收斂數列的充要條件，這跟一個數列本身的性質有關。
為什麼要找到收斂數列的充要條件呀？
如果只根據收斂的定義，很多時候我們甚至不知道它的極限，要是沒有別的判斷方法就無法知道其是不是收斂。
一個自然的想法是，既然收斂必有界，有界不一定收斂。那麼肯定有界與收斂存在一個相關的關係，我們已經猜對了一半了吧。
那自然的就有幾個問題：
l 有界數列加上什麼條件，就必定收斂（判斷收斂的充分條件）：單調有界數列收斂定理
l 有界數列可以得到什麼結論?（雖然不一定收斂，應該是一個弱一點的結論也沒關係）：Bolzano-Weierstrass定理
l 更進一步地，判斷收斂的充要條件是什麼呢?：Cauchy收斂原理
閉區間套定理把這4個定理建立了聯繫。
在數列極限這一章中，五個實數系的基本定理需要掌握其證明，其5個定理的關係如下圖所示：
1. 確界存在定理（實數系連續性）：非空有上界數集必有上確界。證：刻畫
2. 單調有界數列收斂定理。證：確界存在定理及確界定義
3. 閉區間套定理：閉區間套，存在唯一實數屬於所有閉區間，且唯一。證：存在性，單調有界收斂定理及閉區間套定義；唯一性，反證及夾逼
4. B-W定理：有界數列必有收斂子列。證：構造閉區間套得極限，再證有一子列收斂於該極限（構造一子列夾逼於閉區間兩端點）
5. Cauchy收斂原理（實數系完備性）：數列收斂得充要條件是基本數列。證：必要，收斂定義及插項三角不等式；充分，基本數列定義知必有界，由B-W定理知有收斂子列趨於極限，基本數列定義
第二點需要掌握的是，求極限的常見方法。
現給大家總結如下：
1. 由定義解出最佳正整數N，注意插項和三角不等式的技巧；
2. 利用二項式放縮，注意典型題型及常見結論；
3. 兩個平均值；
4. 夾逼準則；
5. Stolz定理，思考什麼時候用Stolz定理：如有明顯遞推、給出和式時；
6. 應用單調有界數列收斂定理；
(1) 利用遞推求極限
(2) 三個常用無理數
(3) p級數
(4) Fibonaccii數列
函數極限的大部分定義定理為數列極限的延拓，大家複習時應注意對比。
同時，要明白連續其實本質上就是極限，也要會區分點連續和一致連續：前者為局部性，後者則為整體性的概念。
另外，連續函數中的重點為三類不連續點，對應不同的類型應能給出典型例子，並畫圖形象表示，可以判斷不連續點的類型。
（1）第一類（跳躍點）：左右極限存在但不相等。注意單調函數；
（2）第二類：左右極限中有不存在。注意Dirichlet函數及其變形；
（3）第三類（可去間斷點）：左右極限存在且相等，但不等於f(x0)或f(x0)無定義。
例f(x)=xsin(1/x)；注意例3.2.7 Riemann函數（畫圖直觀理解，對比Riemann函數和dirichlet函數，一個跳的高度一樣，一個跳的高度為1/p）。
在無窮小量與無窮大量的階這一小節中，需自己總結常用的等價關係。
例如我總結的部分常用等價關係和高階關係給大家參考一下。
【參考】
l 常用的等價關係：
1）x->0：
sinx~x
1-cosx~1/2 x^2
tanx - sinx ~ 1/2 x^3 ，變形 sinx ((1-cosx)/cosx) ~ 1/2 x^3
In(1+x) ~ x
(1+x)^a -1 ~ ax
tanx ~ x
arctanx ~ x
e^x - 1 ~ x，變形 a^x -1 ~ x Ina
2）x->\pi/2 -：
tanx ~ 1/(\pi/2 - x)，變形如下
cosx ~ \pi/2 - x
l 常用的高階關係：
1）x->+\infty：低到高階無窮大量（從小到大）
In^k(x), x^a, a^x,[x]!,x^x
2）x->0+：高到低階無窮小量（從小到大）
(1/x)^(-1/x), 1/[1/x]!, a^(-1/x), x^a, In^(-k)(1/x)
隨後，對於連續函數在閉區間上的5個分析性質，對應5個定理：有界性定理、最值定理、零點存在定理、一致連續Cantor定理，需掌握其證明思想。
證明它們用了實數系的5個基本定理，當中我們用的比較多的是b-w定理和閉區間套定理，實際上因為實數系的5個基本定理等價，因此用任意一個證明都是等價的，難度有差。這種題可以考，可當作習題自我檢測。