初中階段的代數最值問題，一般利用函數思想求解，而幾何最值問題，則往往比較靈活，具有很強的探索性，解題時需要運用動態思維，難度較大，近幾年來，幾何最值問題在中考中頻繁出現，往往出現在填空壓軸題和解答壓軸題的位置。題目形式新穎，往往讓人無從下手，其中一類與隱圓有關的最值問題，越來越受到青睞，追蹤動點的生成過程，研究其運動軌跡是隱圓解決這類題較為有效的方式。
解題時需要運用動態思維、數形結合、特殊與一般相結合，邏輯推理等思想解決。
根據圓的定義，在解決幾何問題中，只要觀察出幾個點到同一個頂點的距離相等，這裡就常常隱藏一個圓，一般的方法：我們可以以這個定點為圓心，以這個距離為半徑做出這個隱藏的圓，藉助這個隱藏的圓可以幫我們解決問題。因為這個圓沒有畫出來，我們常把這個圓稱為「隱圓」。
與隱圓相關的數學模型：
圖1～圖4是幾種常見的隱圓模型，四個隱圓模型對應的依據分別為：（1）的圓周角所對的弦為直徑；（2）如果四邊形對角互補或者外角等於內對角，那麼四邊形四個頂點共圓；（3）定角對定弦；（4）到定點的距離等於定長的點的集合是圓．
下面由淺至深探究第三類定角對定弦模型的應用特色。
引例：在y正半軸作點P，使得∠APB＝∠ACB（尺規作圖．保留作圖痕跡）
【解析】作AC的垂直平分線得到AC的中點O，然後以MA為半徑，M點為圓心作⊙M，則⊙M與y軸的交點即為P點．如圖，∠APB為所作．
應用探究：
1．（2018秋崇川區校級月考）等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD於H，連接AH，則AH的最小值為（ ）
A．2√2 B．2√5﹣2 C．4 D．2√2﹣2
【解析】：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H點是在以BC為直徑的半圓上運動（不包括B點和C點），連接HO，則HO＝1/2BC＝2．
當A、H、O三點共線時，AH最短，此時AH＝AO﹣HO＝2﹣2．故選：B．
2．（2014秋江陰市期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發向點D運動，同時動點F從點D出發向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交於點P，則線段DP的最小值為_______．
【解析】首先判斷出△ABE≌△DAF，即可判斷出∠DAF＝∠ABE，再根據∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然後根據點P在運動中保持∠APB＝90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設AB的中點為G，連接CG交弧於點P，此時CP的長度最小，最後在Rt△AGD中，根據勾股定理，求出DG的長度DG＝√5，如圖：
∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝√5﹣1
即線段DP的最小值為√5﹣1，故答案為：√5﹣1．
變式2．（2019春江岸區校級月考）如圖，正方形ABCD中，AB＝8，動點E從A出發向D運動，動點F從B出發向A運動，點E、F運動的速度相同．當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段BE、CF相交於點P，H是線段CD上任意一點，則AH+PH的最小值為（ ）
A．4√19 B．4√5 C．4√13 D．4√13﹣4
【解析】：如圖，作點A關於直線CD的對稱點A′，連接HA′．
由軸對稱的性質可知：HA＝HA′
∴HA+HP＝HA′+HP，
∴當HA′+PH最短時，HA+HP的值最小，
∵AE＝BF，BA＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP＝90°，∴∠BCP+∠CBP＝90°，∴∠CPB＝90°，
∴點P在是以BC為直徑的⊙O上運動（圖中弧BP′，P′是弧BC的中點），
當點P與P′重合時，HA+HP′的值最小，最小值＝線段P′A′的長，作P′G⊥AD於G，連接P′A′．
在Rt△P′A′G中，由勾股定理可求得P′A′＝4√10，
∴HA+HP的值最小為4√10，故選：A．
變式3．（2018陝西模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發向點D運動，同時動點F從點D出發向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交於點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為_______．
【解析】：如圖作點D關於BC的對稱點D′，連接PD′，
由軸對稱的性質可知：MD＝D′M，CD＝CD′＝2
∴PM+DM＝PM+MD′＝PD′
過點P作PE垂直DC，垂足為G，
易證AF⊥BE，故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧上，當點E與點D重合，點F與點C重合時，PG和GD′均最短，
∴此時，PD′最短．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴PG＝1/2AD=1，GC＝1/2DC=1.．∴GD′＝3．
在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′＝√10．
故答案為：√10．
變式4．如圖，等邊三角形ABC中，AB＝6，動點E從點B出發向點C運動，同時動點F從點C出發向點A運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AE、BF相交於點P，點H是線段BC上的中點，則線段PH的最小值為_______ ．
【解析】：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，
易證△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝60°，
∴∠ABF+∠BAE＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
則P在以AB為弦，圓周角為120°的⊙O上，作OM⊥AB於M，連接OP、OH，在優弧AB上取一點K，連接AK、BK．
∵∠AKB+∠APB＝180°，∴∠AKB＝60°，
∴∠AOB＝2∠AKB＝120°，
∵OM⊥AB，OA＝OB，
拓展應用
1．在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（2015，0），點P是該平面直角坐標系內的一個動點，則使∠APB＝30°的點P有（ ）
A．0個 B．2014個 C．2015個 D．無數個
【解析】：以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，
以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸於點P1、P2．
在優弧AP1B上任取一點P，
則∠APB＝1/2∠ACB＝1/2×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的點P有無數個．故選：D．
2．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x軸於點B，連接AC
畫圖操作：（1）在y正半軸上求作點P，使得∠APB＝∠ACB（尺規作圖，保留作圖痕跡）
理解應用：（2）在（1）的條件下，
①若tan∠APB＝1/2，求點P的坐標；
②當點P的坐標為______ 時，∠APB最大
拓展延伸：（3）若在直線y＝4/3x+4上存在點P，使得∠APB最大，求點P的坐標．
【解析】：（1）∠APB如圖所示；
（2）①如圖2中，
∵∠APB＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠APB＝1/2＝AB/BC，
∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝4，BC＝8，∴C（6，8），
∴AC的中點K（4，4），以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸於P和P′，
易知P（0，2），P′（0，6）．
②當⊙K與y軸相切時，∠APB的值最大，
此時AK＝PK＝4，AC＝8，
（3）如圖3中，當經過AB的圓與直線相切時，且點P在x軸的上方時，∠APB最大．
∵直線y＝4/3x+4交x軸於M（﹣3，0），交y軸於N（0，4），
∵MP是切線，∴∠MPA＝∠MBP，∵∠PMA＝∠BMP，
∴△PMA∽△BMP，∴MP/BM=MA/MP，
3．（1）如圖①，在等腰直角三角形ABC中，AB＝4，探究在△ABC的邊上及其內部是否存在一點P，使得∠APB＝2∠ACB，若存在，請求出△ABP面積的最大值；若不存在，請說明理由；
問題解決：
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝4，∠ACB＝30°，點P是平面內一點，且∠APB＝2∠ACB，請在圖中作出滿足條件的所有點P，並求出△ABP面積的最大值；
（3）如圖③，在平面直角坐標系中，點A與原點O重合，B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB＝30°，在坐標平面內是否存在一點P，使得∠CPB＝2∠ACB，且△CBP的面積及周長取得最大值？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】：（1）存在．如圖①中，以AB為直徑作⊙O交BC於K，連接OK，AK．
∵AB是直徑，∴∠AKB＝90°，∴AK⊥BC，
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，AB＝4，
（2）如圖②中，以AB為邊作等邊△ABD，等邊△ABD′，作△ABD，△ABD′的外接圓．
∵∠APB＝2∠ACB＝60°，
∴滿足條件的點P或P′在優弧ADB，優弧AD′B上，
當點P與D或點P′與D′重合時，△PAB，△P′AB的面積最大，面積的最大值＝√3/4×AB2＝4√3．
（3）如圖③中，當點P在直線BC的上方時，以BC為邊，向上作等邊△BCD，作△BCD的外接圓⊙Q，以D為圓心，DC為半徑作⊙D，延長CD交⊙D於F．
由題意滿足條件的點P在優弧CDB上，延長CP交⊙D於T，連接BT．
∵∠CTB＝1/2∠CDB＝30°，
又∵∠CPB＝∠PTB+∠PBT＝60°，∴∠PBT＝∠PTB＝30°，
∴PB＝PT，∴PC+PB＝PC+PT＝CT，
∴當CT是直徑時，即點P與點D重合時，PC+PB的值最大，此時△PBC的周長最大且△PBC的面積最大，
∵B（4，0），∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，∠BCO＝30°，
∴CD＝BC＝8，OC＝4√3，
∵∠DCB＝∠CBO＝60°，∴CD∥OB，∴P（8，4√3），
根據對稱性可知，當點P在直線BC的下方時，滿足條件的點P的坐標為（﹣4，0），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（8，4√3）或（﹣4，0）．
只要我們仔細觀察，積極思考，以題變而解題思維不變來應對，就能較好的掌握這類題的解法，就能從中不斷提高分析和解決問題的能力。「道是無圓卻有圓」，解決隱圓問題的關鍵在於如何找到那個隱藏的圓。只要「圓」形畢露，那麼答案也可信手拈來。