「龐加萊猜想」被證明了！這個被稱為21世紀七大數學難題之一、美國克雷數學研究所懸賞百萬美元的「千禧難題」最終由兩位來自中國的數學家完成了「臨門一腳」———在美、俄等國科學家的工作基礎上，中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東已經證明了這一猜想。
這是中國人在數學史上再次濃墨重彩寫下的一筆，由於證明龐加萊猜想對於其他研究的推進作用，這一工作被評價為「比哥德巴赫猜想都重要得多」。前有陳景潤攻堅哥德巴赫猜想、後有朱熹平、曹懷東破解龐加萊猜想，中國的數學家在世紀難題的攻堅戰上留下了自己的足跡。但在此之外，還有許多迷人的數學難題像一道道亮麗的風景，吸引著人們為之痴狂……
難題一：哥德巴赫猜想
提出者：哥德巴赫提出時間：1742年研究進展：尚未破解
內容表述：命題A每一個大於或者等於6的偶數，都可以表示為兩個奇素數的和。
命題B每一個大於或者等於9的奇數，都可以表示為三個奇素數的和。
1742年，德國人哥德巴赫給當時住在俄國彼得堡的大數學家歐拉寫了一封信，在信中提出了這兩個問題。它是數論中的一個著名問題，常被稱為數學皇冠上的明珠。
實際上第一個問題的正確解法可以推出第二個問題的正確解法，因為每個大於7的奇數顯然可以表示為一個大於4的偶數與3的和。1937年，蘇聯數學家維諾格拉多夫利用他獨創的「三角和」方法證明了每個充分大的奇數可以表示為3個奇質數之和，基本上解決了第二個問題。但是第一個問題至今仍未解決。由於問題實在太困難了，數學家們開始研究較弱的命題：每個充分大的偶數可以表示為質因數個數分別為m、n的兩個自然數之和，簡記為「m+n」。1920年，挪威數學家布龍證明了「9+9」；以後的20幾年裡，數學家們又陸續證明了「7+7」，「6+6」，「5+5」，「4+4」，「1+c」，其中c是常數。1956年，中國數學家王元證明了「3+4」，隨後又證明了「3+3」，「2+3」。60年代前半期，中外數學家將命題推進到「1+3」。1966年，中國數學家陳景潤證明了「1+2」，這一結果被稱為「陳氏定理」，至今仍是最好的結果。陳景潤的傑出成就使他得到廣泛讚譽，不僅僅是因為「陳氏定理」使中國在哥德巴赫猜想的證明上處於領先地位。
難題二：費馬大定理
提出者：費馬提出時間：1637年研究進展：於1995年被成功證明
內容表述：xn＋yn＝zn在n是大於2的自然數時沒有正整數解（這裡xn、yn、zn表示x的n次方、y的n次方、z的n次方）。
在360多年前的某一天，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下這樣一段話：「將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。」
這個世紀數論難題由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。證明利用了很多新的數學理論，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等。
難題三：四色猜想
提出者：格斯裡提出時間：1852年研究進展：於1976年被計算機驗證
內容表述：每幅地圖都可以用4種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。
四色猜想於1852年由英國學生格斯裡提出，這一猜想的證明得益於計算機技術的發展。1976年6月，美國伊利諾斯大學的數學家阿佩爾和哈肯在3臺不同的計算機上用了1200個小時，分析了2000個構形後成功證明這一猜想。它是第一個人機合作完成的著名數學證明，在數學界、計算機界，乃至哲學界都引起了廣泛關注，引發了關於數學的本質、數學證明的意義等問題的深入討論。另外，四色難題的研究還對平面圖理論、代數拓撲學、有限射影幾何和計算機編碼程序設計等發展起到了重要的推動作用。
難題四：女生散步問題
提出者：柯克曼提出時間：1850年研究進展：已被破解
內容表述：某學生宿舍共有15名女生，每天3人一組進行散步，問怎樣安排，才能使每位女生有機會與其他每一位女生在同一組中散步，並恰好每星期一次。
英國數學家柯克曼於1850年提出「女生散步」問題，提出後得到多種解答，其中較有代表性的是假定一位女生固定在某一組，再將其他14位女生編上號碼（1至14號），並按照一定規律安排星期天的分組散步，則其他6天星期r散步（r=1,2,3,4,5,6）分組可按原編號與r的數字之和安排（和數超過14則減去14）。
另外，有些數學家更將問題擴展成組合論中的難題：設有N個元素，每三個一組分成若干組。這些組分別組成一個系列，現稱為柯克曼序列。若每一元素與其他元素恰有一次同組的機會，問將N分成這種序列要滿足的充分必要條件是什麼，怎樣組成此序列？在女生問題中，序列數為7，N=15是適合條件的數。但N的一般解答直到20世紀60年代後才有突破。我國數學家陸家羲對此曾作出過重要的貢獻。
難題五：七橋問題
提出者：起源於普魯士柯尼斯堡鎮（今蘇聯加裡寧格勒）
提出時間：十八世紀初研究進展：於1736年被圓滿解決
內容表述：一條河的兩支流繞過一個島，有七座橋橫跨這兩支流，問一個散步者能否走過每一座橋，而每座橋卻只走過一次。
這個問題起源於18世紀初的普魯士柯尼斯堡鎮（今蘇聯加裡寧格勒）。歐拉在1736年圓滿地解決了這一問題，證明這種方法並不存在。他在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點，則這一點的線數必須是偶數。
七橋問題引發了網絡理論之研究，被認為是拓撲學理論基本應用題，對解決最短郵路等問題很有幫助。
■新聞緣起
六月三日，著名數學家丘成桐在中國科學院晨興數學研究中心宣布，「龐加萊猜想」被證明了———在美、俄等國科學家的工作基礎上，中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東已經徹底證明了這一猜想。前有陳景潤攻堅哥德巴赫猜想，後有朱熹平、曹懷東破解龐加萊猜想，中國的數學家在世紀難題的攻堅戰上留下了自己的足跡，而數學史上那一道道亮麗的風景，仍吸引著數學精英們為之痴狂。
■連結
世界七大數學難題
2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，美國克雷數學研究所公布和介紹了7個「千年大獎問題」。並邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的闡述。克雷數學研究所對「千年大獎問題」的解決與獲獎作了嚴格規定。每一個「千年大獎問題」獲得解決並不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽的數學雜誌上發表兩年後且得到數學界的認可，才有可能由克雷數學研究所的科學顧問委員會審查決定是否值得獲得百萬美元大獎。
這7個「千年大獎問題」是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯理論、納衛爾-斯託克斯方程、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。
其中龐加萊猜想和黎曼假設是兩個最大的猜想，剩餘下的難題中，很多人攻關的黎曼假設還沒有看到破解的希望；引起很多著名數學家興趣的霍奇猜想「進展不大」；和流體有關的納衛爾-斯託克斯方程「離解決也相差很遠」；P與NP問題「沒什麼進展」；楊-米爾理論「太難，幾乎沒人做」。
(責任編輯：龔倫常)