超越數是一個對數學愛好者是一個既陌生又神奇的熟悉概念，前面我們依據康託爾對角線原理巧妙的得到，代數數是可數無窮，實數是不可數無窮，那對於超越數呢？它們是可數無窮還是不可數無窮呢？
因為超越數與可數無窮的代數數構成了不可數無窮的實數集，所以超越數只能是不可數無窮，對吧，夥伴們這是不是很容易理解。
接下來看一個更強悍的東西，一個可數無窮數集，比如有理數或者代數數，比起不可數無窮數集比如說實數，超越數，無理數，簡直微不足道。
接下來是一段不錯的解釋，以有理數為研究對象。
所以就用自然數給所有有理數標上號，有理數0，被標上自然數1，有理數1，被標上了自然數2，依次類推
取一段長度為1的線段，取一半，放在編號為1的數上，並以之為中點，
剩下的取一半，放在編號為2的數上，並以之為中點，依次類推
現在我們把所有有理數都包括在了長度為1的線段內，這就是數學中的一門分支——測度論
對於「有理數集長度或者說測度小於1」有嚴格定義，但這個命題對於任何更短的線段也成立啊，既然我們能讓線段任意小，結論就是：有理數的長度或者說測度為0
當然，同樣的結論也適用於任何可數無窮集，比如代數數，所以說可數無窮數集的測度皆為0.長度是0，這個結論是不是很詭異。
但是我們仔細想一想，也沒有其他我們遇到的一些結論詭異，比如說代數數集和自然數集一樣大，從這也能推出，如果我們關注某段有限的區間。
在當中隨便選一個數，會有一個完全正確但是違背直覺的結論，這個數是代數數的概率為0，換句話說，你選中的超越數的概率為100%
那麼像π或者e這樣的數呢？因為幾乎所有的實數都是超越數，你應該猜π和e都是超越數，而它們真的是超越數，但是證明起來非常複雜。
如圖貼上證明π是超越數的圖片，供大家參考下，它是如此的艱深難懂。
在這裡提一下，在1882年對於π時超越數的證明，解決了一個困擾了古希臘人的謎題，π是超越數，意味著尺規作圖化圓為方是不可能的。
給出一個圓，想要用尺規畫出一個等面積的正方形是不可能的
給大家展示一個位數具有簡單規律的數是超越數，劉維爾數，由著名法國數學家劉維爾發現，早於康託爾的方法，這個數正是我們想要的，這個數有一大片0組成，只有寥寥的幾個1存在
1出現在第1！位，第2！位，第3！位，依次類推，因為這個數的0的個數沒有規律，也沒有循環部分，因此它是一個無理數，這個數是歷史上比較早證明是超越數的數，課本上都拿這個數作為最簡單的證明題。
用前幾篇超越數的文章裡的方法，比你見過的任何證明劉維爾數是超越數的方法都簡單。
如果你已經理解了前幾篇和本篇有關超越數的解說，你可以試著證明劉維爾數是超越數。