數學教育:等周定理

2021-02-16 榔頭頭科技

等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾裡得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的「等周」指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。

雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後，數學家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的「表面」或區域的最大「邊界長度」問題等。

等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾裡得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的「等周」指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。它可以以不等式表達：

P若為封閉曲線的周界長，A為曲線所包圍的區域面積：

雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後，數學家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的「表面」或區域的最大「邊界長度」問題等。

在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙裡），水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時，表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時達到。

歷史

編輯

平面上的等周問題是等周問題最經典的形式，它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中，是否有一個圍成的面積最大？如果有的話，是什麼形狀？另一種等價的表述是：當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時，怎樣的曲線周長最小？

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之後他的證明被其他數學家完善。 [1]

其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年，赫爾維茨憑傅立葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。

2012年，潘憶思利用不等式給出了一個十分簡單初等證明。論文名稱《不等式與等周問題》,但是仍然不能作為等周定理的嚴格證明，因為文中默認凸多邊形內存在一點到各邊垂線的垂足都落於邊所在的線段內。

不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周長不變。

一個狹長的圖形可以通過「壓扁」來變得「更圓」，從而使得面積更大而周長不變。

證明

編輯

以下給出一個較初等的證明，分5步。 [2]

設一條長度為P的封閉曲線圍成的區域的最大面積為A，亦以A、P來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、A是一個凸區域。

假使不然，A是一個凹區域。那麼根據定義，可以在P內找到兩個點M和N，使其連線MN有一部分M'N'不包含於A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍後得到一個同樣周長，面積比A大的區域。矛盾。

2、凡平分周長P的弦必平分面積A。

如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部分

 ，那麼去掉

 而將

 對MN做對稱，則可得到一個周長仍然等於P而面積等於

 的區域，矛盾。

3、凡平分A的弦，無論方向，長度相等。

如果不然，不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲線（半個P，不妨記為P1}），以及M'N'及其任一側的區域（另行劃分的半個P，記為 P1），並粘合在一起使得M'N'落在MN上，M與M'重合。

此時，新的圖形仍然滿足周長為P，面積為A的性質，且由於MN>M'N'，N'應落於MN之間。

以M為中心，分別對P1和P'1做

和

倍的放縮，使兩曲線的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合，記為 N''），得到兩個分別與原區域相似的區域Q1和Q'1。適當調整

和

的值，使曲線

的周長仍為P。

此時Q1和Q'1的長度分別等於

和

，所圍的面積分別等於

和

；並且由於MN和MN'經過放縮後重合，有

。

由於曲線

的周長仍為P，故

，從而

；而由

知

。

所以，

的面積為

，與A最大矛盾。

4、若MN平分A，O為MN中點，那麼對P上任意一點R，都有OM=ON=OR。

以O為中心，做MRN的中心對稱圖形，R對稱到R'；那麼圖形MR'NRM的周長為P，面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等，而O也是RR'的中點，故得結論。

5、由於O到P上任意一點的距離都相等，所以P是圓。

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