數學教育:盛金定理

20世紀80年代，中學數學教師範盛金對如何解一元三次方程進行了深入的研究和探索，發明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，並建立了簡明直觀而且實用的新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理。

盛金公式的特點是由最簡重根判別式A=b^2－3ac，B=bc－9ad，C=c^2－3bd和總判別式Δ=B^2－4AC來構成。

盛金公式簡明易記、解題直觀、準確高效，體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。

特別是當Δ=B^2－4AC=0時，盛金公式3的表達式非常簡潔漂亮。

盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡明的、實用的、具有數學美的解三次方程的理論體系。

解一元三次方程問題是世界數學史上較著名且較為複雜而又有趣味的問題，虛數概念的引進、複數理論的建立，就是起源於解三次方程問題。1545年，義大利學者卡爾丹（Cardano，1501—1576，又譯作卡爾達諾）發表了三次方程X^3+pX+q=0的求根公式，卡爾丹是第一個把負數寫在二次根號內的數學家，並由此引進了虛數的概念，後來經過許多數學家的努力發展成了複數的理論。

一元三次方程應用廣泛，用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但是使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。

上世紀80年代，中國的一名中學數學教師範盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，並建立了簡明的、直觀的、實用的新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味。

盛金公式的特點是由最簡重根判別式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和總判別式Δ=B^2－4AC來構成，體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。

青年範盛金(33歲完成盛金公式的推導)

盛金公式簡明易記、解題直觀、準確高效。

特別是當Δ=B^2－4AC=0時，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表達式非常簡潔漂亮，不存在開方（此時的卡爾丹公式仍存在開立方），手算解題效率高。盛金公式3被稱為超級簡便的公式。盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡明的、實用的、具有數學美的解三次方程的理論體系，範盛金創造出的這套萬能的系統方法，對研究解高次方程問題及提高解三次方程的效率作出了貢獻。

範盛金髮明的「一元三次方程的新求根公式與新判別法」於1989年發表在《海南師範學院學報》（自然科學版）第2期。

公式表述

編輯

一元三次方程

盛金公式1

重根判別式

總判別式Δ=B2－4AC。

　　

當A=B=0時，盛金公式1：

當Δ=B2－4AC>0時，盛金公式2：

盛金公式2

其中

 ，

 。

盛金公式3

當Δ=B2－4AC=0時，盛金公式3：

其中

當Δ=B2－4AC<0時

盛金公式4：

其中

 ，

 （A>0，－1<T<1）。

盛金公式4

盛金判別法

編輯

當A=B=0時，方程有一個三重實根。

當Δ=B2－4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛復根。

當Δ=B2－4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個二重根。

當Δ=B2－4AC<0時，方程有三個不相等的實根。

盛金定理

編輯

當b=0，c=0時，盛金公式1無意義；當A=0時，盛金公式3無意義；當A≤0時，盛金公式4無意義；當T<－1或T>1時，盛金公式4無意義。

當b=0，c=0時，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：

盛金定理1：當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：當A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）。

盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。

盛金定理4：當A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。

盛金定理5：當A<0時，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。

盛金定理6：當Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。

盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。

盛金定理8：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式4解題）。

盛金定理9：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現的值必定是-1<T<1。

顯然，當A≤0時，都有相應的盛金公式解題。

注意：反之不一定成立。如：當Δ>0時，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實係數的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。

公式特點

編輯

當Δ=B2－4AC=0時，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，（A≠0）。簡明易記，不存在開方（此時的卡爾丹公式仍存在開立方）。盛金公式3手算解題效率高。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最簡明的式子，由A、B、C構成的總判別式Δ=B2－4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式2中的式子（－B±（B2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達形式體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。

發表刊物

編輯

以上結論，發表在《海南師範學院學報（自然科學版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中國海南。國內統一

海南師範學院學報(1989年12月)背頁

刊號：CN46-1014），第91—98頁。範盛金，一元三次方程的新求根公式與新判別法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .

盛金公式的推導

編輯

盛金公式的證明過程(4張)

盛金公式的推導參見《海南師範學院學報（自然科學版）》（第2卷，第2期；1989年12月）（編輯單位:海南師範學院編輯部;國內刊號:CN46-1014;定 價:0.80元;作 者:範盛金;出版日期:1989年12月20日:發行範圍:全國公開發行）文獻資料圖片。

學習「盛金公式解題法」要正確理解。

1、要把盛金公式、盛金判別法、盛金定理有機地結合起來正確理解，不可分割。

例如：

當Δ=B2－4AC=0時，盛金公式3：

X1=－b/a+K；

X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，（A≠0）。

(註：根據盛金定理7，盛金公式3一定不存在A=0的值)。

這裡A≠0，是指分母不能為0，因為分母為0無意義。

但並非A≠0的一切值都有可能出現在盛金公式3。

注意：A≠0與A≤0是不一樣的。

例如：－5≠0，但是－5<0。

盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。

根據盛金定理7，盛金公式3一定不會出現A=－5這樣的值。

舉一個具體的例子：

X3－2X2+3X+R=0

a=1，b=－2，c=3，d=R。

A=－5<0。

根據盛金定理5：當A<0時，則必定有Δ>0。

可知，無論d=R為任何實數，這個方程必定有Δ>0。

如：取R=1，則方程為

X3－2X2+3X+1=0

a=1，b=－2，c=3，d=1。

A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。

取R=±1，R=±2，……，這樣繼續下去，根據盛金定理5，這個方程永遠都是Δ>0。

就是說，這個方程不可能出現Δ=0的值。顯然，A=－5<0這樣的值不可能出現在盛金公式3。

根據盛金定理5及盛金定理7，這很清楚：A=－5<0這樣的值，只有可能出現在盛金公式2，而不可能出現在盛金公式3。

2、解題過程中要正確理解和掌握方法，有利於提高解題效率。

⑴、當A=B=0時，有Δ=0。但此時沒有必要計算Δ=0的值。

根據盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。

根據盛金定理6：當Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。

所以，只要當A=B=0時，沒有必要計算C與Δ的值，直接套用盛金公式1解題即可。

⑵、當Δ=0時，若B≠0，根據盛金判別法或盛金定理7，直接套用盛金公式3解題即可。

就是說，當A=B=0時，（有Δ=0），直接套用盛金公式1解題；當Δ=0時，若B≠0，直接套用盛金公式3解題。

總之，學習「盛金公式解題法」要把盛金公式、盛金判別法、盛金定理有機地結合起來正確理解，才會收到更好的學習效果。

其實很簡單，盛金公式、盛金判別法、盛金定理是有機聯繫的、是清晰的，在解題中直接套用（對號入座）就可以了。

解題舉例

編輯

運用盛金公式解題的步驟：

1、寫出係數a、b、c、d的值（以免當b=0時，誤把c的值當b的值輸入計算器）；

2、按順序求出A、B、C、Δ的值；

3、根據盛金判別法套用相應的盛金公式即可得出正確結果。

舉例：

（使用科學計算器輔助運算）

例1、解方程X3+5.4X2+9.72X+5.832=0

解：a=1，b=5.4，c=9.72，d=5.832。

A=0；B=0。

∵A=B=0，∴應用盛金公式1求解，得：

X1=X2=X3=－1.8。

例2、解方程2X3+11X2+182X+255=0，

解：a=2，b=11，c=182，d=255。

A=－971；B=－2588；C=24709，Δ=102667500。

∵Δ>0，∴應用盛金公式2求解。

Y1=27480.49167；Y2=－33314. 49167。

把有關值代入盛金公式2，得：

X1=－1.5；X2,3=－2±9i。

例3、解方程X3+5.5X2+9.92X+5.888=0

解：a=1，b=5.5，c=9.92，d=5.888。

A=0.49；B=1.568；C=1.2544，Δ=0。

∵Δ=0，∴應用盛金公式3求解。

K=3.2。

把有關值代入盛金公式3，得：

X1=－2.3；X2=X3=－1.6。

例4、解方程100X3－420X2+467X－105=0

解：a=100，b=－420，c=467，d=－105。

A=36300；B=－101640；C=85789，Δ<0。

∵Δ<0，∴應用盛金公式④求解。

θ=90°。

把有關值代入盛金公式④，得：

X1=3/10；X2=5/2；X3=7/5。

經用韋達定理檢驗，以上結果正確（過程略）。

例5、一建築物的樓頂要建一個儲水池，按施工的設計要求，這個儲水池的長、寬、高之和為67.4dm，且寬=高，滿儲水量為9539.712(dm)^3，立體對角線為1706.92dm，問：如何施工才能達到設計要求？

解：設取長、寬、高分別為X1dm、X2dm、X3dm，依題意：

X1+X2+X3=67.4；

X1X2X3=9539.712；

X12+X22+X32=1706.92。

解這個方程組。

根據韋達定理，得一元三次方程：

X3－67.4X2+1417.92X－9539.712=0

a=1，b=－67.4，c=1417.92，d=－9539.712。

A=289；B=－9710.4；C=81567.36，Δ=0。

根據盛金判別法，此方程有三個實根，其中兩個相等。

應用盛金公式③求解。

K=－33.6。

把有關值代入盛金公式③，得：

X1=33.8(dm）；X2=X3=16.8(dm）。

經檢驗，結果正確。

∵ 寬=高，

∴ 應取長為33.8dm；寬=高=16.8dm來進行施工。

只要熟練操作科學計算器，就可方便運用盛金公式解任意實係數的一元三次方程。