作者：張新未，一土學校課外課「數學俱樂部」的任課老師。1999年全國高中數學聯賽江西省第一名，並成為國家數學奧林匹克集訓隊成員，保送進入北京大學數學系，並獲得北京大學數學系的本科和博士學位；畢業後多年從事金融量化模型和交易工作。
題圖：張老師和一土的老師孩子們一起嘗試不一樣的數學課
怎麼才算「學會」數學，說實話，從小學階段開始對數學發生興趣，到進入北大數學系，開始「專業」學「數學」，畢業之前在金融領域從事的工作又與數學高度相關，但從開始教小朋友加減乘除後，我開始重新思考，數學怎麼才算「學會」了？
▲哭的稀裡譁啦還沒太明白什麼是「數」的小姑娘
網上流傳著不少類似的陪孩子寫作業，特別是寫數學作業的段子和小視頻。大人們往往會經歷從「循循善誘」到 「急火攻心」的過程，為什麼這麼簡單的問題，孩子就是不會？
孩子小時候學不會大人覺得顯而易見的問題，其實是很正常的。剛開始學習數學，往往會遇到一些基本的關鍵概念，而越是基本的概念，越抽象，越難理解。對於完全沒有經驗的孩子來說，真的很難啊！比如，什麼是「數」，什麼是「十進位」，什麼是加法，什麼又是減法？小小數字的發明，其在人類文明的作用不亞於火的熟練使用。
人們最早開始用手指頭計數，當手指頭不夠使用的時候，人們開始繩結計數，石頭計數，刻痕計數；從第一個繩結打上後，人類文明便走上了一條快捷通道，我們建立起了羊和繩結的一一對應關係，這一一對應的思想是非常本質的，甚至是現代數學的基礎。舉個例子：整數比實數少就是用到一一對應的思想方法。從一到二，這又是一次飛躍，一生二，二生三，三生萬物。一和二的關係是次序的關係，表達的是數量的聯繫，是函數f(n) = f(n-1) +1的遞歸關係，從此之後才能說大小，才能說加減，才能說乘除。
後來，人們又發現一個一個的打結對於很多很多的數量是很難記清楚的，才發明了進位系統，這又是一次飛躍。古埃及的象形數字和中國的甲骨文數字用的是十進位，古巴比倫的楔形數字用的是六十進位，瑪雅文明用的是二十進位。現代我們用的阿拉伯十進位計數法已成為全世界通用的語言符號。有了計數系統，在這個結構之上，我們才得以發展更高效的數數方法，加減乘除四則運算。
大數學家 Felix Klein 說過：
「數學最困難的地方在於：不管任何人，想要進入它，就必須在自己心裡，依靠自己的力量，一步一步地把它的發展再現一次。」
所以，哪怕只是掌握一個數學概念，如果不能把它賴以創立的所有概念及它們的相互聯繫都加以消化，是不可能的。我們需要帶著孩子在腦海中走完一遍數學發展的歷史，讓其在自我思考、提取抽象的過程當中更加順利。這其中的不容易，作為大人，我們可能已經忘記了，但是這就是孩子們在這個年齡普遍需要經歷的。
▲圖片來源於網絡
我教過一個高年級孩子，他的計算速度總是很慢，計算8+7，他會畫上7個圈圈，然後從8開始數：9、10、11、12、13、14、15，答案是15。他理解了數字的次序，理解了加法的意義，可是問題在於他沒有理解10機制，沒有理解8+7=8+2+5=10+5=15這個湊十的過程。
這個時候，老師可以有兩種選擇，直接讓小朋友把所有個位數的加法答案都背下來幫助他「過關」，這個對老師來說是比較省事的；一個是通過遊戲和具象化的方式，設置小朋友感興趣的情境，在遊戲中反覆操練，真正理解10的美妙之處。
孩子都喜歡遊戲，針對這個孩子遇到的問題，我設計了一個遊戲：將軍出塞。外敵入侵我們要徵兵克敵，籌碼就是我們的軍隊。一些籌碼代表1，1代表士兵；一些籌碼代表10，10代表將軍，遊戲還需要1個骰子。每一輪遊戲，都需要投骰子來決定徵兵的數量，每10個小兵可以換一個將軍，湊夠5個將軍我們就可以出塞打仗了。
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現在，他手上有8個小兵，又投出了一個6，他會再拿6個小兵出來，然後激動的說「我可以換一個將軍了！將軍出馬天下無敵！」，迅速地數出十個小兵換出一個將軍。隨著玩的次數的增加，遇到同樣的趕不上情況，他開始直接把手上的8個兵還回去直接拿出1個將軍和4個小兵。這個時候，我知道，他已經在心裡完成了這個湊10的過程！從第一次課，計算20組個位數加法需要兩分半的時間，到第三次課計算20組個位數加法只要一分半，對他來說是很大的進步啊，而且我知道，他是真的「學會」了。
現在，遊戲可以進階了。我們國家強勝了，但敵人也更厲害了。我們需要10個將軍才可以出兵打仗，但是每次徵兵的數量由兩個骰子的總數決定。某些時候能扔出12，他會很激動，「直接獲取一位將軍」。這個升級版其實是在鍛鍊他三個能力，一位數加法的口算（兩個骰子的總數），數位的概念或者說數字的結構（23是2個將軍和3個小兵，對應到數字上的解釋就是23是兩個10和三個1組成的），兩位數加法的初步認識（將軍數相加，小兵數相加，小兵能湊到10就進位）。
有了數字結構的理解，加法的計算就變得很自然了。他知道將軍和將軍相加，小兵和小兵相加。最後我們還是要回歸到加法豎式的計算中來，數位對齊，個位相加，進位標記，再算十位，有了前面的鋪墊，豎式的計算就容易多了。在掌握知識和技能之外，額外的收穫是，小朋友對數學學習產生了自發的興趣，在算得更快中發現了樂趣，很多速算的題目其實就是需要小朋友對數的構成有深刻的理解才能達到。
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這個故事的進階版本可以一直講下去，下一步我們還可以很自然地引入減法和減法退位，為將來的乘除法學習打下了堅實基礎。課後，他可能會忘了加法豎式怎麼列，但這個遊戲卻已經深深地留在了他腦子裡，他可以很快調出這個將軍出塞的遊戲，我是怎麼加將軍的，我是怎麼小兵換將軍的，他仍然可以通過自己的理解計算出正確答案。忘了套路不怕，隨時可以調用具體的經歷現場推導，這才是更好的學會。
現代數學鼻祖希爾伯特這樣說：
「數學研究的對象是關係而不是對象，定理是對關係的精確描述。抽象結構既可以表達簡單也可以表達複雜的現象，結構，概念。學習是從具體到抽象理論為目標，研究是從理論到具體為目標。」
簡而言之：數學是對現實世界事物與事物之間關係的高度抽象概括，是極度的信息壓縮。心中沒有具體的案例，是無法調動相應的數學知識來解決新問題的，沒有經歷過從具體問題到抽象的過程，也無法達到對某個數學知識點的深度理解的，更無從談起自如運用了。
小朋友抽象能力還沒有那麼強大，我們需要充分調動他們的手，眼，耳，最重要的是，需要調動他們的學習興趣，使得他們能夠在具體的數學遊戲中找到那些抽象的數學概念，並建立起數學想像和圖景。
▲在張老師數學思維課上，專心琢磨的孩子
上面的例子可以說是數學想像的一個方面，下面再說一個建立數學圖景的例子。
小學高年級的數學學習中，一個學習點是乘法交換律和分配律。這個我們都很熟悉，乘法交換率即a*b=b*a，分配律是(a+b)*c = a*c+b*c。課堂上，我們可以從計算上總結出這樣的規律，例如4*5 =20 = 5*4，（3+4）*7 = 7*7 = 49 = 3*7 + 4*7。這種推導方式，對小朋友來說，理解和記住都是一個挺費腦子的事情。此外，更進一步說，這樣的總結方式也不夠「聰明」，很多很多的數學定理是不需要計算精確結果也能推出等式關係的。有些情況下，我們甚至都不能算出答案，但是仍然能夠知道兩個量的關係。
那麼，我們可以怎麼做呢？
對於交換律，我們建立下面的圖景，a*b是一個底為a，高為b的長方形面積，現在我們把這個長方形旋轉90度，它的底是b，高為a，面積是b*a，所以a*b一定是等於b*a的，多麼的顯然啊！
對於乘法分配律，我們可以引導小朋友建立下面的圖景。大長方形的面積是(a+b) *c，兩個小長方形的面積是a*c和b*c，所以(a+b) *c = a*c + b*c。有這樣的直觀圖景，就算我們忘記了運算定律的名字，他們所描述的規律一生也不太可能忘記了。
小朋友在數學學習中還會遇到一個問題，低年級學倒還可以，到了高年級卻慢慢跟不上了。有兩個原因，一個是因為數學這座大廈是有著嚴密的基礎，很容易出現理解不到位，一步跟不上，步步跟不上的情況。沒有對十進位計數法的理解，就很難理解加減法的運算；沒有組合、拆分的精確理解，就很難有乘除法的理解，進而影響到小數、分數的理解；不能理解數量之間的關係，就很難建立起方程的概念；沒有方程的概念就很難建立起函數的概念；沒有函數的概念，就很難建立起解析幾何的概念，到這裡幾何和代數終於統一了；沒有代數和幾何的連接，就又很難建立起極限的概念，沒有極限的概念，現代數學也就無從談起了。
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對於小學階段的知識來說，其實靠背口訣，學套路，其實真的是可以「過關」的。但是，非常可惜的是，在這樣的學習中，小朋友們真正錯過的不但是真的「學會」數學的時機，也是發展和培養思維能力，學習能力的機會。怎麼學習數學本身也是需要「學習「的。我們就是要不斷地輔助小朋友獨立完成思考、歸納、抽象的過程，才能真正培養起數學思維。
所以，在好的數學學習中，老師應該做嚮導而不是做保姆，不應該也不能剝奪小朋友對新事物的探索和親身體驗。在課堂上：
1.給出典型的問題，這個問題是種子問題，是產生某個知識點的原始素材。將來可以隨時調用，這個問題要具體，容易理解又能引發學習興趣；
2.循循善誘，一步一步輔佐小朋友完成思考，適時歸納總結獲取並理解某個知識點；
3.給出新的問題，讓小朋友用獲取的知識解決新的問題，得到成就感和思考的快樂。
這種學習方式，用在所有的數學知識上，有點奢侈也沒必要，比較好的做法是：找到最最關鍵的幾個概念，不斷地加強，對於一些重要的數學思想，種下種子。我們會根據孩子們愛玩的天性，設計一系列有趣的遊戲，在遊戲中不知不覺地經歷思考、歸納、總結的樂趣。化數學概念或者技術為「遊戲」，讓孩子在動手玩的過程中，在一個個挑戰性的任務裡，去理解和內化這些抽象的概念，歸納總結出解決這些問題的一般方法。當孩子經歷了這一切，面對新的問題時，就會自動與這些遊戲發生聯結，調動對應的知識來解決新問題。做到了這一步，我們認為，這個數學，孩子學「會」了。
這個學期，在一土學校的課堂上，我們和三年級的師生們共同開展了一次卡牌遊戲課，針對小朋友剛剛學會的兩位數乘一位數的口算和估算設計的遊戲課（請參考《【快戳】一土大型「賭博現場」實錄》），小朋友玩得不亦樂乎。在遊戲當中，小朋友不僅體驗到了把知識應用在新場景下的成就感，更難能可貴的是，在遊戲過程當中，他們自覺地引入了有序思考的思維方式。讓我們再次感嘆，給小朋友探索的空間，他們真的有無限潛能！
以上是我們在課堂上做了什麼。其實，在課堂上，不做什麼，同樣重要。
典型的套路式教法：你看到題目中的數字一定出現在等式的左邊……這種講法看似一下就掌握了秘訣，實質上是對小朋友天生就有的探索精神的扼殺，傷害孩子的探索欲，相當於剝奪了孩子一半的學習樂趣，大人們還有什麼理由責怪孩子們不愛學習呢？
和對錯的結果相比，我們更關心的是思考過程，鼓勵小朋友積極思考，和同伴交流自己的思考過程；對於結果，要幫助小朋友正確認識對與錯，「錯」正是很好的學習機會。
學習的樂趣原應屬於每一個孩子，但勝負心又是孩子們的天性，那麼如何既順應他們喜歡比賽的天性，又保護每一個孩子的學習積極性呢？我們採用了在競爭性遊戲中，引入隨機性的做法，避免出現強者恆強的情況。很多遊戲中有扔骰子這個設計，可能也是為了讓遊戲更像遊戲，而不是智力競賽。在上面所說的卡牌遊戲課當中，我們也充分考慮到了這一點，設計了隨機性，在競賽遊戲中保護孩子們的自尊，而不至於因為輸贏心失去了遊戲的快樂和自信，失去了遊戲學習的本意。
▲邊動手嘗試邊學習，圖片來源於晨犀APP
創造一個學生可以高效學習的課堂，作為老師，需要我們：
鼓勵學習（Encouragement）
創造學生積極參與遊戲和問題解決的學生主導的課堂。
個性化（Differentiation）
幫助學生創造適合各自水平的問題或者任務。
促進思考（Thinking）
促進學生思考，提出可以稍微思考就能解決的問題（productively stuck）。
正面積極的環境（Positive Environment）
創造師生之間，生生之間相互信任和支持的課堂，在這裡可以犯錯、可以問問題，並鼓勵這些行為。
我們希望孩子們在遊戲當中獲得發現問題的能力；通過探索獲取知識的能力；面對新問題，產生聯想的能力；學習到如何學習，進而變成真正的思想者，創造者，問題解決者，從而終生受益。
作為一個從小喜歡數學，因數學而受益的人，我一直在享受數學給我帶來的樂趣，也希望把這份快樂帶給更多的孩子，體會到數學之美，思考之樂。在他們心裡埋下思辨的種子，精心地呵護，靜待花開。
這個寒假，數學迷張老師將帶孩子們一起在好玩又有挑戰的遊戲任務中發展數學思維。來和我們一起體驗吧！
數學營為半日營，我們同期將開設包括做飯課在內的半日拼營。想不想嘗試一下上午腦力激蕩遊戲化學習，下午炒勺翻飛大飽口福的感覺啊？