佚名 發表於 2009-10-13 16:23:17
計算機中常用幾種不同的進位數制，包括二（八、十六）進位和十進位。二進位數據更容易用邏輯線路處理，更接近計算機硬體能直接識別和處理的電子化信息的使用要求，而使用計算機的人更容易接受十進位的數據類型。二者之間的進位轉換是經常遇到的問題，應熟練掌握。
（1）二 (八、十六) 進位 十進位數據轉換公式 (2.3) 確定的運算規則，是不同進位計數制數據之間完成進位制轉換的依據。
十進位到二進位的轉換,通常要區分數的整數部分和小數部分,並分別按除2取餘數部分和乘2取整數部分兩種不同的方法來完成。
對整數部分,要用除2取餘數辦法完成十→二的進位轉換,其規則是:
用2除十進位數的整數部分，取其餘數為轉換後的二進位數整數部分的低位數字;
再用2去除所得的商,取其餘數為轉換後的二進位數高一位的數字;
重複執行第二步的操作，直到商為0，結束轉換過程。
例如, 將10進位的37轉換成二進位整數的過程如下:
餘數部分，即轉換後的結果，為(100101) 2。
對小數部分，要用乘2取整數辦法完成十→二的進位轉換,其規則是:
用2乘十進位數的小數部分,取乘積的整數為轉換後的二進位數的最高位數字;
再用2乘上一步乘積的小數部分,取新乘積的整數為轉換後二進位小數低一位數字;
重複第二步操作,直至乘積部分為0，或已得到的小數位數滿足要求,結束轉換過程。
例如，將十進位的0.43，轉換成二進位小數的過程如下(假設要求小數點後取5位):
整數部分，即轉換後的二進位小數為(0.01101)2。
對小數進行轉換的過程中,轉換後的二進位已達到要求位數,而最後一次的乘積的小數部分不為0，會使轉換結果存在誤差，其誤差值小於求得的最低一位的位權。
對既有整數部分又有小數部分的十進位數, 可以先轉換其整數部分為二進位數的整數部分,再轉換其小數部分為二進位的小數部分,通過把得到的兩部分結果合併起來得到轉換後的最終結果。例如，（37.43）10 = （100101.01101）2 。
在實現手工轉換時,如果對二進位數已經比較熟悉,基本上記住了以2為底的指數值,即二進位數每一位上的權,對十進位數進行轉換時,也可以不採用上述規則,基本上可以直接寫出來。例如，
（45.625）10＝32＋8＋4＋1＋0.5＋0.125＝(10 1 1 01. 10 1) 2，即（101101.101）2。
(1105)10 = 1024+81 = 1024+ 64+16 + 1= (1000 10 10001) 2，即（10001010001）2。
參照上述方法,也可以實現十→八進位, 十→十六進位的轉換過程。例如,
結果：（1109）10 =（2125）8
結果：（0.385）10 =（0.305）8
完成 十→十六 進位數的轉換方法與前述方法類似，只是乘除16時，手工運算不大方便。
（2） 二 八 及 二 十六的進位轉換
用二進位表示一個數值N，所用的位數K為log2N，如表示4096, K為13，寫起來位串較長。為此，計算機中也常常採用八進位和十六進位來表示數值數據，為表示數值N，分別有如下對應關係:
m-1
N = ∑ Di * 8i (2.5) Di 的取值為0到7
i = -k
例如 (7.44)8 = 7*80 + 4*8-1 + 4*8-2 = (7.5625)10 。
m-1
N = ∑ Di * 16i (2.6) Di 的取值為0到9和A到F
i = -k
例如 (1A.08) 16 = 1*161 + 10*160 + 8*16-2 = (26.03125)10 。
上述二式中所用符號的意義與公式（2.3）中所用符號的意義類同，但此處Di包含的基本符號分別限於0-7和0-9、A-F，各位的碼權分別為8i和16i
把用二進位、八進位、十六進位表示的數轉換成10進位數的值, 使人能更容易地衡量這個數值的大小。
二進位數與八進位、十六進位數的關係
由於log28=3, log216=4, 即一位8進位的數可以用3位二進位的數重編碼來得到, 一位16進位的數可以用4位二進位的數重編碼得到, 故人們通常認為, 在計算機這個領域內, 8進位和16進位數, 只是二進位數的一種特定的表示形式。表2.1給出少量二、八、十六和十進位數的對應關係：
表2.1 二、八、十六和十進位的對應關係
二進位數
八進位數
十六進位數
十進位數的值
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
00
01
02
03
04
05
06
07
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
在把二進位數轉換成八進位或十六進位表示時，應從小數點所在位置分別向左、向右對每三位或每四位二進位位進行分組，寫出每一組所對應的一位八或十六進位數。若小數點左側(即整數部分)的位數不是3或4的整數倍，可以按在數的最左側補零的方法理解；對小數點右側(即小數部分)，應按在數的最右側補零的方法處理，否則容易轉換錯。對不存在小數部分的二進位數(整數),應從最低位開始向左把每3位劃分成一組，使其對應一個八進位位，或把每4位劃分成一組，使其對應一個十六進位位，例如:
(10.101) 2 變成八進位時，應把它理解為(010.101)2,是(2.5)8 , 即八進位的2.5。當把它轉換為十六進位時，應首先變為(0010.1010)2，是(2.A) 16,即十六進位的2.A，而不是(2.5)16。又如，
(1100111.10101101) 2 = (147.532) 8
(1100111.10101101) 2 = (67.AD)16
八和十六進位之間的轉換不怎麼常用，經過二進位的中間結果進行轉換是方便的。
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