伽羅華的發現證明：計算不如結構重要。
伽羅華定義的群本質就是方程根形成的集合必須具有對稱性質。
一般說來，一個抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結構，沒有結構的集合，是沒有意義的。數學研究的集合是定義了運算或者變換的（系統科學研究的集合，上面定義的可能是正反饋，負反饋，延遲，發散，收斂等等），這些運算或變換，就形成了集合的結構，也即定義了集合中元素的關係。伽羅華群結構思想是人類第一次將對象按照結構進行研究，並不管研究對象和運算具體是什麼（群上面定義的運算，可以是加法，也可以是變換等等）。
伽羅華思想的價值是開啟了現代數學的大門，使數學從運算轉向研究運算性質，也即集合的結構。所以伽羅華思想是開啟後來法國布爾巴 基學派以數學結構觀 念統一數學的先導（布爾巴基學派簡介在上一篇介紹數學基礎時介紹過），布爾巴基實現了伽羅華沒有實現的理想，他們把康託爾的集合論及希爾伯特的公理化方法作為統一數學的基礎，從抽象群的公理理論出發，通過分析抽象群結構，搞清楚了人類的抽象結構概念是如何產生的，例如他們通過群就是在某一集合中定義有結合性，么元和逆元的一個運算（這三個性質叫群結構公理），就抽象出結構概念的一般特點是：滿足一定條件公理的關係集合。所以布爾巴基認為集合上的關係是數學至關重要的概念，因為關係是各種運算的抽象，是構成一個結構的基礎，不同的關係可以構成不同的結 構。布爾巴基學派就從結構觀點出發，選出三種基本結構：代數結構、序結構、拓撲結構，作為元結構，通過從簡單到複雜，從一般到 特殊的層次概念，構造出各種不同的結構，如複合結構、 多重結構、混合結構，建立了各種公理理論，在此基礎上，統一了人類目前所有的數學學科。這其實是伽羅華思想的進一步發展：數學本質就是研究結構的。布爾巴基所做的只是把伽羅華已經確定的觀念推廣而已。
群的抽象定義是凱萊提出的，到20世紀初，已經成為數學的核心概念，幾乎所有大數學家都認為其是數學的中心概念和統一數學的基礎概念。如外爾就說過：沒有群就不可能理解近代數學。龐加萊也曾說 過：可以說群論就是那摒棄其內容化為純粹形式的整個數學。
總之，群論是十九世紀最傑出的數學成就，是人類擺脫幼年思維的標誌，也即從此擺脫了依賴直觀+計算來理解世界。群論以結構研究代替計算，把人類從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，是物理學和化學發展的重要推動。
抽象的力量是巨大的，Feynman認為用代數角度而不是偏微分方程來理解量子力學要容易得多，因為代數的抽象恰好可以避免望文生義和誤入歧途。而且偏重計算的偏微分方程會導致學生舍本求末，陷入細節而難以抓住本質。
代數雖然沒幾何直觀，但是面對N維空間時，其實幾何直觀優勢已經蕩然無存（所以克萊因才要用抽象代數統一幾何）。面對直觀以外的世界，我們唯一可以依靠的只有抽象+邏輯。
幾何與代數的特點很像以現象研究為對象的初等物理和以本質研究（不變量研究）為主的理論物理。
代數通過不斷的抽象來提煉更加基本的概念，例如兩個群，不論它們的元素真實背景是什麼（這些元素不管描述的是膨脹、收縮、轉動、反演、振動、聲音、流體、電磁波等等)，只要運算性質相同，彼此就是同構的，並且可以因此認為是相同的代數結構而不加區別。
代數的每一次抽象都是學科升級的過程。
例如克萊因用群論來把幾何中的許多互不相干的分支之間建立了內在的聯繫。
克萊因對幾何學的定義：幾何學是當集合S的元素經受某變換群T中所包含的變換時集合S保持不變的那些性質的研究，為方便起見,這種幾何學以符號G(S,T)表示。也即任何一種幾何學可以用公理化方法來構建，也可以把變換群和幾何學聯繫起來。
例如集合S叫做空間，S的元素叫做點，S的子集A和B叫做圖形，凡是等價的圖形都屬於同一類（圖形等價類）。
同一類裡的一切圖形所具有的幾何性質必是變換群G下的不變量，因而可用變換群來研究幾何學（Erlangen綱領），例如在正交變換群下保持幾何性質不變的便是歐式幾何，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何，在射影變換群下保持不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何。
稍微具體一點，平面歐幾裡得度量幾何為設S為通常平面上所有點的集合,考慮由平移、旋轉和線上的反射組成的所有S的變換的集合T。因為任何兩個這樣的變換的乘積和任何這樣的變換的逆變換還是這 樣的變換,所以,T是一個變換群。長度、面積、全等、平行、垂直、圖形的相似性,點的共線性和線的共點性這樣的一些性質在群T下是不變的,而這些性質正是平面歐幾裡得度量幾何所研究的。
仿射幾何就是把平面歐幾裡得度量幾何的變換群T擴大, 除了平移、旋轉和線上的反射外,再加上仿射變換（換句話說，就是從歐幾裡得空間的距離概念抽象化出單比的概念，就從歐式幾何中捨棄距離不變而保留更普遍的單比不變，就從歐氏幾何升級到仿射幾何）。在此擴大的群下,像長度面積和全等這類性質不再保持不變,因而不再作為研究的課題。但平行垂直圖形的相似性,點的共線性,線的共點性仍然是不變的性質,因而仍然是這種幾何中要研究的課題.
射影幾何所研究的是平面上的點經受所謂射影變換時仍然保持不變的性質從單比抽象到交比概念（換句話說，從仿射幾何中捨棄單比不變而保留更普遍的交比不變，升級射影幾何）。在前面講的那些性質中,點的共線性和線的共點性仍然保持不變,因而是這種幾何所要研究的課題。
在上述的幾何中,使某變換群的變換起作用的基本元素是點,因此,上述幾何均為點幾何的例子。還有線幾何, 圓幾何,球幾何和其他幾何的例子。
在建立一種幾何時,人們首先是不受拘束地選擇幾何的基本元素，其次是自由選擇這些元素的空間或流形，自由選擇作用於這些基本元素的變換群,這樣,新幾何的建立就成為相當簡單的事了。也即從歐式空間（長度，夾角）到內積空間（模，不嚴格的夾角）再到賦范空間（範，完全拋棄夾角），不斷的抽象，最後甚至連範數（最不願拋棄的度量或度規）也拋棄了，從不嚴格的距離發展到不確定的距離，也即由歐式空間的連續函數抽象出度量空間的連續映射，一直到抽象出拓撲空間中的同胚映射，最後得到了拓撲空間的概念，這是人類目前為止在抽象上最深刻的極限。可以說克萊因用群論來研究幾何學是人類思想的突破。
總之，群是數學中最有影響的概念，不了解群，就不可能了解現代數學。群論直接推動了代數數論、代數幾何、函數論、微分方程與特殊 函數論和代數拓撲的產生和發展，甚至很多經典數學領域，因為群論的引入而現代化。
其實數學上這種抽象過程，也推動了理論物理學的發展，例如狹義相對論發展就是要擺脫坐標而直接度量時空的過程，而廣義相對論發展就是擺脫時空度量概念，走向空間同胚概念的過程。
目前群論已經是現代物理的主要工具。群論廣泛用於基本粒子、核結構、原子結構和晶體結構等，因為對稱性是物質世界最普遍的性質，例如各種物體（分子、晶體或圖形）都可以用特定的對稱性群來描述其結構（晶體的空間對稱性可以用點群描述，其實晶體X射線衍射的圖案直接與其點群相關）；再例如時空存在對稱性，可以用彭加萊群描述不同表示對應不同自旋的粒子，例如標量粒子、旋量粒子、矢量粒子；再例如量子力學裡的全同粒子就是對稱性的（基本粒子的規範對稱性可以由李群描述，其實李群的結構常數直接決定了規範玻色子，比如膠子、W、Z玻色子的自相互作用）。
現代化學也離不開群論。例如化學中分子的性質受到分子對稱性的影響（因為分子的對稱性反映出分子中原子核和電子云的分布情況），所以可以根據分子對稱性判斷該分子的一些基本性質，例如判斷是否具有旋光性（判別分子是否具有旋光性的常用的方法是比較實物和它的鏡像，看它們能否完全重合，凡不能和鏡像重合的分子都具有旋光性；反之，如果兩者能夠重合，則分子就沒有旋光性），所以可以用分子的對稱元素和所屬對稱群來判斷其是否具有旋光性。
同樣，根據分子的對稱性，也可以判斷分子有無偶極距。分子偶極距大小決定於分子正負電重心間的距離與電荷量，其方向規定為從正至負。因為分子所具有的對稱性是分子中原子核和電子云對稱分布的反映，分子正負電重心一定處於分子的對稱元素上。所以分子的永久偶極矩是分子的靜態性質，靜態性質的特點就是它在分子所屬點群每一對稱操作下必須保持不變，為此μ向量必須落在每一元素上，因此可以根據「分子對稱元素是否只交於一點」來預測分子有無永久μ。如果分子有對重心落在同一點上，因而無偶極距。若不存在上述的對稱元素時，則分子的正負電重心不落在同一點上，就有偶極矩。
如果分子具有對稱中心，那麼分子的所有對稱元素都交於此點，此點亦即分子正負電荷的重心。因此，具有對稱中心的分子沒有偶極矩。如果分子有兩個對稱元素交於一點，比如有一個對稱面和垂直於此面的對稱軸，或者有兩個以上不相重合的對稱軸，那麼分子的正負電荷中心必重合於此交點，因而也沒有偶極矩。分支雖有對稱面和對稱軸，但他們若不相較於一點，而且對稱軸為對稱面所包含，則他們具有偶極矩。
按照這一判據，可將分子所屬點群和它是否具有偶極矩的關係總結為：對於具有偶極矩的分子可以進一步推斷：當分子有C2 軸時，偶極矩必沿著此軸；當分子有對稱面時，偶極矩必位於此面上；當分子有幾個對稱面時則偶極矩必沿著他們的交線。
再例如化學位移等價性的判別質子或其他的原子核，在一定的交變磁場的作用下，由於分子中所處的化學環境不同，從而將在不同的共振磁場下顯示吸收峰。這一現象就叫做化學位移。化學位移是核磁共振波普中反映化合物結構特徵最重要的信息之一。
氫氣(H1)譜亦即質子譜，在核磁共振波普中應用最為廣泛。氫譜中的各個峰與分子中的不同環境的質子相對應。這樣便可根據分子對稱性識別等價院子或基團，進而可以判別氫譜中化學位移的等價性。全同質子（通過旋轉操作課互換的質子）在任何化學環境中都是化學位移等價的。對映異位質子（存在對稱操作使分子中兩個質子互換的質子）在非手性溶劑中具有相同的化學性質，也是化學位移等價的，但在光學活性或酶產生的手性環境中就不再是化學等價的，在核磁共振波普中可以顯示偶合現象。此外，非對映異位質子（不能通過操作達到互換的質子）在任何化學環境中都是化學位移不等價的。分子中化學位移等價的核構成一個核組，相互作用的許多核組構成一個自旋系統。考慮分子的對稱性，有利於對它們進行分類，因而群論就是最基礎的。
群論也廣泛用於分子結構判斷，因為分子外形的對稱性通過分子波函數與分子結構聯繫，而分子波函數可以作為分子所屬點群的不可約表示的基。
雜化軌道理論主要是研究分子的幾何構型，而構型和雜化的原子軌道在空間的分布和方向有密切的聯繫。由於在微觀世界中，分子都具有一定的對稱性，而對稱性不同時，則其分子構型也必然不同，因此分子對稱性就與其雜化軌道有內在的聯繫。群論的方法可以告訴我們：在具有一定形狀的分子的化學成鍵中，中心原子可能採用什麼樣的雜化方式。運用群論的知識還可以知道中心原子提供哪些原子軌道去構成合乎對稱性要求的雜化軌道，而且還可以進一步求出雜化軌道的數學表達式。
當然群論還有實際工程應用，例如先進陶瓷材料研發。我們都知道，先進陶瓷材料現在用途極為廣泛，例如渦扇發動機用的陶瓷塗層材料，或陶瓷基複合葉片，甚至在尾噴管，燃燒室等等都開始使用陶瓷複合材料，以及在飛彈某些關鍵部位的應用。
而大家不知道的是：群論在先進（陶瓷）材料的結構篩選中是基本工具。因為晶粒對陶瓷的性能起著關鍵性的作用，所以研究晶粒是獲得新材料性能的關鍵，例如由晶體的各向異性性，可以通過控制外界工藝條件使晶粒在某個晶向優先生長，從而可能具有某些前所未有的性能，在力學上使結構陶瓷得到更好的晶須增韌效果，在物理性能上或者在力學性質上增強，使功能陶瓷獲得更好的韌性，剛性，抗切變性，或者是在電學性能上增強，例如獲得更好的壓電性能、熱釋電性、倍頻效應，或者使人工晶體獲得更好的旋光性等光學性能等等。
目前通常做法是通過對這些具有一定力學性能、物理性能的材料的微觀本質的分析，可以利用對稱群分析計算，篩選出摻雜物質和優化結構構造方式等等，來改變晶體的晶格，以獲得性能更佳，物理效應更顯著的晶體。
用對稱群為工具也可以研究非晶態材料和非平衡態材料結構。非晶體與晶體相比有著大量的缺陷，原子或離子間的結合也不如晶體那般整齊有序，所以比同類晶體具有更大的內能，因此當非晶態向晶態轉變或者反過來晶態向非晶態轉變時將吸收或放出大量的能量，選擇適當的材料顯然在某些場合可以考慮由此而用來存儲能量。
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