群論前言：群是一個代數系統，群裡面只有一種代數運算(這與後面的環與域是有所區別的)。一個代數運算用什麼符號來表示，我們是可以自己來決定的。一個群的代數運算有時候我們可以o用來表示，有時候也可以O橫用來表示，或者直接用乘法的符號來表示，我們可以直接寫成ab,並且因此我們就把一個群的代數運算叫做乘法，當然這個乘法一般不是我們普通的乘法(當然也可以是),有了這些準備工作，我們來看看什麼叫做群。
群的第一定義：我們說，一個不空集合G對於一個叫做乘法的代數運算來說做成一個群，假如
1. G對於這個乘法來說是閉的
2. 結合律成立：a(bc)=(ab)c,對於G的任意三個元a,b,c都對
3. 對於G的任意二個元a,b來說，方程ax=b和ya=b都在G裡有解
群的第二定義：我們說，一個不空集合G對於一個叫做乘法的代數運算來說作成一個群，假如：
1. G對於乘法來說是閉的
2. 結合律成立：a(bc)=(ab)c對於G的任意三個元a,b,c都對
3. G裡面至少存在一個左單位元e使得：ea=ad對於任意G中的任何元素a都對
註：在一個群裡左單位元是唯一的，對於群裡任何一個元素來說都是公共的單位元e,同時逆元也是唯一的，但是逆元的唯一性體現在對於群裡任意給定的元素a來說它的逆元是唯一的，而不是群裡所有的元素有公共的逆元。
在群的第二定義裡，把「左單位元」與「左逆元」改成「右單位元」與「右逆元」同樣的也是群的定義。事實上左單位元也是右單位元左逆元也是右逆元。