揚州大學的李立斌老師聯繫我說要開一個抽象代數教學研討會, 希望我去給個報告談談教學體會. 我實話實說: 沒有完整教過這一課程, 做的一些思考, 以及在公眾號裡寫的相關文章, 大部分是在我帶一些大一、大二學生玩抽象代數的過程中產生的, 屬於自娛自樂. 李老師就讓我講講怎麼跟學生玩的.
2020 年 12 月 18 日, 我應邀來到揚州大學, 談了自己對抽象代數及相關課程體系的思考, 現在把所談的內容整理成文字. 我必須得說明: 我的想法的確是基於一些實踐, 出發點是引導學生們去自發探索抽象代數的內容, 但願意跟我一起探索的大一、大二學生一般不超過十人, 因此我所做的探索是小眾的, 樣本很少, 沒有統計學上的意義; 另外, 我的思考是立足於代數學的整體思考, 對大多數將來不做數學研究的學生未必適用, 他們或許可以從中得到一些啟發, 知道一些問題的來龍去脈, 從而解答一些疑惑. 因此, 以下思考僅供參考.
整體思路我對抽象代數課程的定位是「承前啟後」, 也就是說, 它在代數學課程體系中起到紐帶的作用. 一方面, 抽象代數中的很多概念都來源於高等代數或者是用高等代數處理問題的過程中產生的; 另一方面, 抽象的思維方式可以讓我們更高效地處理有共性的問題, 提煉出有用概念——數學的確是玩概念的, 進而發展稱各種深刻的數學分支.
當然, 抽象代數自身有很多問題值得研究, 比如有限單群的分類. 但這些深刻的問題一般不是僅僅靠抽象代數自身來解決的, 需要和其他數學分支包括高等代數進行融合.然而, 傳統的抽象代數教學偏重於對群、環、域等抽象概念的介紹, 與之前的高等代數及之後的表示論等內容的脫節比較嚴重, 也可能非常嚴重. 比如一個很普遍的問題是, 很多學生知道群、環、域的概念, 但是舉不出有意思的例子, 而這些例子往往就存在於高等代數之中, 學生甚至老師都有意無意地忽略了這一點.
問題是怎麼把抽象代數和前後的課程融合在一起呢?
首先, (有理係數)方程求根本質上考慮包含方程所有根的最小數域
其次, 天才的 Galois 發現研究
第三, 完成群論的基礎研究, 再回到方程求根的判別上來, 並把相關理論推廣到一般域上, 這就是 Galois 理論.
第四, 對群論的深入研究的最大功臣是高等代數(有點意外?), 從而發展為表示論, 也就是把抽象的群實現為具體的矩陣群, 並考慮所有不同的實現方式. 這大概類似於醫學中對人體做各個方向的掃描, 然後合成得到整體信息. 有趣的是, 這裡又蘊含了群論與 Lie 代數的聯繫.
這些觀點可以用一張圖來表示:
這個過程是「螺旋式的上升」: 從高等代數出發研究域論, 再發展出群論, 從而徹底解決方程根式解, 然後回到高等代數來研究群論. 學生們經過這樣的洗禮不僅能對域和群的抽象理論有深刻的理解, 在使用過程中也會對高等代數的把握上一個層次, 達到高等代數、域論、群論和有限群表示論的融合.
環論和模論是另外一個故事, 但與群論和域論有緊密關聯. 我們依然可以從高等代數入手, 即以整數和多項式的因式分解為出發點, 探討一般代數整數的因式分解, 由此自然引出 Euclid 環、主理想整環和唯一析因環等環論的一般理論, 這裡有大量的代數整數環的例子作為支撐. 建立不同環之間聯繫的是環同態, 特別地, 將一般環實現成具體的變換(矩陣)就是模論, 這類似與群作用與群表示. 高等代數中處理 Jordan 標準形的方法之一是多項式矩陣, 這就是模論的雛形.
尺規作圖很多抽象代數書中都會提到尺規作圖, 這是抽象理論對於古典問題的精彩回答. 不過, 需要說明的是, 著名的古希臘三大尺規作圖問題的解決並不需要抽象代數, 核心思想是線性空間!
問題 1 (1) 平面上所有能用尺規作圖得到的點(對應於複數)構成一個數域.
(2) 設
(3) 設
(4) 若從單位長度出發, 平面上點
(5) 三等分任意角、倍立方問題不可能實現: 包含
(6) 化圓為方不能實現: 需要
不過有的尺規作圖問題是高等代數解決不了的, 例如正
有了上述公式, 自然可以得到正 17 邊形的作圖方法——如果紙、直尺、圓規都充分大的話.若要在一張小小的
這裡有個問題: Gauss 是怎麼計算出
問題 2 設
(1) 尺規作圖可以作出正
(2)
(3)
上述問題的解決需要 Galois 理論.
從高等代數出發的 Galois 理論初步一般抽象代數課程都是從群論開始介紹各種抽象名詞, 高度的抽象性令很多初學者望而卻步. 經常聽到這樣的爭議: 群論的很多概念, 如正規子群、可解群等, 都有一個略顯奇怪的名詞——至少對初學者而言, 這些東西很難記住, 要想知道其來歷需要等到學習 Galois 理論時, 那時只有一個小問題——群論知識都被忘得差不過了, 需要老師重新回顧一下, 有時可能耗時很久也達不到效果. 這兩部分內容到底該怎麼協調?
其實歷史本身已經給了答案: Galois 是在研究方程根式解的過程中發展出群的各種概念和性質的, 而經過一代代數學家的努力, 我們已經可以把 Galois 最初的比較晦澀的思路整理得非常清晰, 其中的主要工具竟然就是高等代數! 因此先從高等代數角度介紹一些方程根式解的基本思想或許是個有益的嘗試.
首先, 把數域
問題 3 設
(1) 包含
其中 ,
(2) 包含
(3) 包含
其次, 用數域來描述方程根式解.
問題 3 設
問題 4 以正十七邊形(即求
(1)
(2)
(3)
(4) 得到數域列
這裡涉及的數域都是在小的數域上添加一個根式
其中
第三, 用新的方法描述根式擴張塔, 或者更一般地, 描述任何數域.
這是天才的 Galois 的發現. 根據一代代數學家的努力, 現在已經可以用非常簡單的語言來描述這一發現, 關鍵的工具是還是來源於高等代數——線性空間和線性變換.
問題 5 (1) 設
(2) 記
則
(3) 令
這就是說,
第四, 討論
如果嘗試計算不同數域
問題 6 若
實際上, Dedekind 得到了更強的結論, 用到的工具還是高等代數——齊次線性方程組求解和線性相關性.
問題 7 (Dedekind 無關性定理)
一個自然(?)的問題是: 等號何時成立? 結論是驚人的!
問題 8 (困難!) 等號成立若且唯若
這就把方程求根問題與其分裂域的 Galois 群的結構完美地聯繫起來了. 於是終結問題是:
問題 9 根式擴張塔的 Galois 群有什麼非同尋常的特點?
由此引出可解群的概念及群論的很多研究. 詳見《給大一學生的 Galois 理論》.
群論的研究思路方程根式解的問題把群論的研究推上了歷史舞臺, 由此打開了一道通向美妙的抽象數學理論的大門, 代數學理論的研究從此走上了快車道.
要研究一個新的數學對象, 首先要找到找到足夠多同類型的例子. 實際上, 歷史上的很多數學研究都隱含了群的蹤跡, 例如初等數論中不超過正整數
其次, 面對眾多的研究對象, 需要研究它們之間的關係, 這就要考慮映射, 這樣的映射(群同態)必須要保持群的乘法運算, 否則就破壞了群的結構. 群同態的核與像自然是重點關注對象, 尤其是前者, 因為核具有非常好的結構特點. 這樣, 正規子群和商群就自然產生了. 這個過程類似於求整數或多項式的因式分解、線性空間的子空間與商空間, 對於群就是要把它表示成正規子群和商群的合成(群擴張).
第三, 如果繼續對正規子群和商群做類似分解, 就能得到更小的群. 對於有限群而言, 這個過程有限步後會終止, 從而得到一些不能再分解的群(即單群). Jordan-H"{o}lder 定理表面, 最後得到的單群與分解過程無關, 即任何有限群總是有固定的單群擴張得到, 當然擴張過程有很多種, 從而得到不同的群.
第四, 在擴張的意義下, 群論歸結為研究有限單群, 也就是要判斷非平凡正規子群是否存在, 或者等價地, 是否存在非單也不平凡的群同態
第五, 特別要指出的是, 利用素數階群擴張得到的群就是可解群, 由此可以回到方程根式解的問題中完成臨門一腳, 證明方程可用根式解等價於其分裂域的 Galois 群是可解的. 而很多群是不可解的, 例如
至此, 域論和群論形成了一個完美的輪迴.
(詳見《問題引導的抽象代數》)
群論與表示論當考慮群
儘管我們在高等代數課程中對線性變換做了長期研究, 但在一般抽象代數課程中, 線性變換僅有的出場機會是把
當 Frobenius 用高等代數的相關內容來研究群的時候, 包括 Burnside 在內的數學家們對此是不屑一顧的, 只不過 Frobenius 很快用豐碩的成果改造了他們. 有限群表示論的研究思路與前文談到的群論的研究思路如出一轍, 在此不贅述, 我們僅舉一例.
問題 10 (1) 正十二面體的旋轉對稱群同構於最小的非交換單群
(2) 上述作用得到了
(3)
(4) 作為旋轉變換群, 我們自然有
(5) 上述三維表示實際上是把
此圖有幾何上的解釋: 這裡的
如果去掉標號為
這
(詳見《代數學發展史：有限群表示論 I, II》)
群論與 Lie 代數Lie 代數一般是大四或研究生課程, 不過我認為可以提前以與高等代數、群論更好地結合. 我們很容易注意到 Lie 代數與有限群在概念上的相似性, 可以用下表來展示:
在大學四年級時學到 Lie 代數, 當時就困惑於上面的相似之處. 實際上不僅是名詞上的相似, Lie 代數的整個研究思路與前文提到的群論、表示論的研究思路也是完全一致的(我覺得這是代數學的很深的套路). 實際上由於 Lie 代數是線性空間, 其研究要比有限群的研究容易得多, 復單 Lie 單數的分類也簡介漂亮的多. 如果了解到 Lie 代數與 Lie 群的關係, 上述相似性就是自然而然的了. 在寫群論和 Lie 代數相關文章的時候, 我刻意把二者融合起來: 寫一篇群論相關文章, 馬上寫一篇 Lie 代數相關文章, 以體現這二者的相關性.
(詳見:《給大一學生的 Lie 代數》)