抽象代數教學體系的探索 II

環論與模論

按: 本以為很快可以把環論與模論部分寫完的, 結果拖了很久, 寫出來的似乎也不是最初設想的樣子. 一個原因是期末雜事比較多, 真正的原因是寫著寫著就發現環論是一個巨大的坑, 涉及到代數、數論、幾何、分析等眾多數學分支, 如何取捨是一個大難題. 本想多加入一點環論發展史, 暫時顧不上了, 以後再說吧. 2020 年秋季學期, 有幾個大一學生一直在堅持跟著我上討論班, 聊的話題基本上是圍繞環論, 這可算是本文的基礎, 感謝他們. 新學期裡會用這個版本為框架引導感興趣的大一學生繼續探討環論, 歡迎更多的小白鼠參與進來.

我們最早接觸群、環應該是在小學: 先學整數加法, 有了負數以後就得到加法群; 後來學了乘法就得到了環. 在群論中, 交換群的結構很簡單; 而對於環論, 交換的世界卻異常地豐富多彩, 即使在整數環範圍內也有大量目前還在研究的有趣問題. 從這個意義上來說, 環或許比群更容易接近. 因此, 我不僅希望給大一學生們開討論班探索一些環論的問題, 我更希望有一個環論課程可以與高等代數同時開設, 每周兩小時就行, 這樣在學習高等代數的同時理解了環論, 或許在難度上能達到

大致設想按如下方式與高等代數對接.

整數與多項式的因式分解

談到因式分解, 先分享一件輕鬆的事. 講多項式的時候我問學生們

言歸正傳. 高等代數的第一節課上, 我一般會跟學生們說, 大學一年級在某種意義上與小學一年級差不多——剛入小學時我們會學整數的運算, 而剛入大學時我們會學多項式的運算(有的學校會晚一點學多項式理論). 整數和多項式的性質極為相似, 這會啟發我們把兩者做對照. 在了解了多項式的加、減、乘運算之後, 因式分解就成為核心問題. 這時候就需要回顧一下算術基本定理. 因此, 不管是在課上還是在面向大一學生的討論班上, 有一個問題是必須要嘗試的:

問題 11  證明算術基本定理(這樣可以類似地證明多項式的因式分解的存在唯一性).

結果跟我設想的差不多: 只有為數不多的學生能完整地給出證明; 有的學生困擾於存在性的證明; 有的學生想當然地跳過了關鍵步驟; 更多的學生似乎完全沒有思考的欲望, 甚至壓根兒不明白為什麼還需要證明.

整數和多項式情形的因式分解存在唯一性的證明是完全一致的, 其核心都是帶餘除法. 如果仔細研究一下就會發現, 證明過程中並不是從帶餘除法直接得到結論, 而是有一個過渡——Bezout 定理, 一般的證明的思路是:

由此引出三種特殊的環:

條件越弱, 研究對象越豐富; 反之, 條件越強, 研究對象的性質越好.

如果仔細研究整數和多項式的因式分解唯一性的過程, 大概能夠發現如下問題.

問題 12  (1) 輾轉相除法能保證因式分解的存在唯一性;

(2) Bezout 定理可以用來證明因式分解的唯一性, 但並不能保證因式分解的存在性.

在整數和多項式情形, 存在性很容易, 因為不難看出分解在有限步後會終止, 麻煩的是唯一性. 而在一般情況下, 因式分解的存在性很難保證, 也就是說, 因式分解在有限步之後會終止並不顯然, 這就需要額外的條件, 比如因子鏈條件或主理想升鏈條件等, 由此會引出一個非常重要的概念——Noether 環.

當然, 僅有整數和多項式這兩個例子是不足以提煉出上述這些概念的, 我們必須要有足夠多的例子作為支撐, 為此我們要關注一個寶庫——數論.

數域與代數整數

我們還是從最簡單的概念——數域談起, 這是一進大學就要學的, 也伴隨了高等代數的整個課程. 其中一個非常典型的問題是:

問題 13  設

比較熟悉的是

這個集合對於加、減、乘運算封閉, 除法雖然不封閉, 但是作除法時可以得到任何

問題 14  Gauss 整數環

這個問題可以推廣一下:

問題 15  前一個問題中的數域

一個簡答的想法是考慮

看一個具體的例子.

問題 16  當

(1)

(2)

(3)

這個例子值得仔細研究一下, 因為它能告訴我們很多東西.

首先, 封閉性的要求會告訴我們, 應該考慮整係數首一多項式的根, 稱之為代數整數, 這是整數的自然推廣. 利用高等代數就可以得到:

問題 17  設

例如當

其次, 不可約元. 而比較一下整數和多項式的因式分解的唯一性證明, 其中關鍵一步是利用: 若 素元. 因此, 不可約元與素元一般不一樣; 而在整數或多項式情形, 它們是一樣的, 即

問題 18  設

(1) (不可約性)

(2) (素性) 對任意

從形式上看, (2) 要麻煩一點, 然而這是更本質的, 也是證明因式分解的唯一性的關鍵. 在一般情況下中, 上述結論並不等價, (2) 更強一點, 要把素數或不可約多項式推廣就需要用 (2) 作為素元的定義. 因此, 討論一般因式分解時, 需要注意不可約元與素元的區別, 特別是素元的判別非常重要.

第三,

這些概念是在研究 Fermat 大定理過程中發展起來的, 也困擾了包括 Cauchy 在內的很多數學家, 其原因就是因式分解唯一性的缺失. 著名的 Gauss 類數猜想就與最簡單的

Fermat 的工作

與上述概念相關的很多問題 Fermat 都考慮過, 參見在黑川信重等人的書. 特別地, Fermat 大定理啟發了一代代數學家深入研究代數學, 而 Kummer, Dedekind 等人關於代數整數環的工作是奠基性的, 其中的一個核心問題如下:

問題 19  設

是否是唯一析因環?

這個問題很難, 我們還是看看 Fermat 研究過相對容易的數論問題.

問題 20 [兩平方和問題] 設

這個經典的問題有很多證明方法. 從現代的觀點看, , 因此它實際上告訴我們

問題 21  形如

Fermat 還考慮過什麼樣的素數可以寫成

另一個 Fermat 考慮過的問題是解 Pell 方程

其中

而

講完數域與多項式, 高等代數就應該進入矩陣的世界了. 矩陣或者線性映射是線性空間之間的聯繫, 是研究線性空間的關係的重要手段. 在環論中, 自然也要考慮不同環之間的關係, 也就是要建立環同態: 保持環的加法和乘法的映射(有時要求保持單位元). 類似於線性映射的研究, 自然有同態核和同態像, 它們都是各自環的子環(不考慮是否包含么元). 對於線性映射

在高等代數中, 我們接觸到很多環同態的例子, 例如多項式與數域之間的同態.

問題 22  設

(1)

即為

(2) 若

(3) 若

(4) 若

這在 Galois 理論中起到重要作用.

類似地可以考慮多項式到

問題 23  設

證明: 存在唯一的首一多項式

理想

與群的同態基本定理類似, 環的同態核的性質要比一般的子環性質更好, 這就引出了理想的概念. 於是脫離環同態, 我們也可以直接研究理想. 實際上, 理想在環論研究中的重要性怎麼評價也不過分.

問題 24  (1)

(2)

例如上文提到以某個數

問題 25  設

證明:

當然, 理想的研究遠不是這麼簡單的, 比如多元多項式的理想要複雜的多.

問題 26  設

稱

(1)

(2)

由此, 作為代數對象的理想與為幾何對象的代數集建立了聯繫, 成了代數與幾何之間聯繫的橋梁.

同餘類與商環

只要有理想就可以構造商環, 這為我們得到更多的環打開了一條快速通道, 而商環的雛形就是我們在初等數論或高等代數中研究過的剩餘類.

問題 26  設

(1) 模

(3)

(4)

這個例子自然可以推廣到多項式情形.

問題 28  設

(1)

(2)

(3)

(4)

不過,

問題 29  設

更一般情況下, 商環的結構與理想有緊密關聯.

問題 30  設

(1)

(2)

自然, 極大理想一定是素理想, 而在

中國剩餘定理

現在我們可以換一個觀點來看待中國剩餘定理了——這大概是很多講環論的老師願意提的結論, 因為它在一定程度上可以提升我們的文化自信.

問題 31  設

(1) 是環的滿同態, 其中

(2)

這實際上就是孫子定理. 同樣地, 多項式情形的中國剩餘定理也可以用環論的語言描述如下.

問題 32  設 , 其中

(1) 是環的滿同態, 其中

(2)

方陣、線性變換與非交換代數

是時候跟隨高等代數的腳步進入非交換世界了. 與方陣和線性變換同步, 我們可以來了解一點非交換環. 從定義上看,

不過, 結合代數的應用更廣泛一些, 也更容易研究.

問題 33  設

(1)

(2)

因此, 任何結合代數都是某個線性變換代數的子代數. 這與群論中的 Cayley 定理異曲同工. 由此可見, 左乘變換不論是在群還是在結合代數中都很重要. 實際上, 群和結合代數聯繫很緊密.

問題 34  設

如果覺得上述構造線性空間的方法比較生硬, 可以換個角度考慮.

問題 35  設

這就是函數的卷積, 在分析學中很有用, 可以推廣到無限群情形, 比如群

有限群的群代數都是半單結合代數, 也就是單結合代數的直和. 一個自然的問題是單結合代數的分類.

問題 36  設

證明並不難, 高等代數中基本的矩陣技巧就可以. 上述結論還可以推廣到一般數域上, 就是如下的 Wedderburn 定理.

問題 37   域

如果可交換,

Hamilton 四元數

Hamilton 花了十年時間也沒能把複數推廣到三元數, 反而靈光乍現地想到了四元數這樣的第一個非交換的體. 之所有花費這麼長時間, 大概是因為當時還沒有結合代數和矩陣乘法的思想.

問題 38  若

寫成如上模樣有點唬人, 稍微轉化一下, 利用前文提到的左乘變換,

如果不像 Hamilton 那樣突然得到靈感想到四元數的乘法, 我們也可以考慮更泛一點的問題: 利用線性變換來直接研究實數域上的有限維體的分類.

問題 39  實數域上有限維體只有三種:

證明有一定難度, 但所需知識沒有超出高等代數的範圍. 簡單提示一下: 若

完成上述證明就自然得到了

問題 40  四元數

(1)  ;

(2)  .

有意思的是

問題 41  任何

多項式矩陣與模論

線性變換的 Jordan 標準形理論是高等代數中的難點, 這裡蘊含的是模論. 前面很多地方已經用上了模論或表示論的思想, 例如用結合代數中的元素定義左乘變換, 考慮 Abel 群上的自同態環, 將四元數實現成矩陣等. 集合

用模的觀點, 數域

結束語

除了前文提到的代數幾何, 環和結合代數在其他數學分支中也有很多應用, 如各種函數空間一般都有乘法運算構成一個交換結合代數, 微分算子代數則構成一個非交換結合代數, 拓撲空間的上同調環, 早一點接觸環論對學生們來說或許不是壞事. 本文也只是一個雛形, 需要在今後的實踐中繼續完善, 歡迎同行的交流和同學的反饋.