5語法與邏輯
5.1一階謂詞邏輯
5.2邏輯語言與邏輯演算
5.3公理系統
圍繞公理系統思想與方法上的進展，是理解邏輯、數學、計算機器以至整個科學的歷史與現狀迴避不了的一個脈絡。
一個公理系統從一組初始概念與公理出發，這組公理需要滿足：
1完備性
2獨立性
3相容性
公理系統的完備性是指從這組公理出發，可以推演證明領域所有的命題。我們並不能知道公理系統是否完備，完備性只能證偽，出現不能證明的命題，那就證明完備性上有問題。這時候，可以通過增加或調整公理集，然後再來證明命題，如果可行，那麼新的公理系統又處於完備狀態，否則只能推倒重來。
公理系統的獨立性是指公理集中的各公理相互獨立，不能從其中的一些公理推出另一些公理，否則要把可推出的公理作為定理來安排。獨立性讓公理系統變得經濟：在相同的領域範圍內，可以更少的公理達到完備性；或者公理不一定少，但能概括的範圍更廣，達到這樣的效果可認為所選擇的概念與公理更基礎。在沒有更少初始或者概括更廣範圍的情況下，更簡潔流暢、或更易理解、甚至更優美也是所追求的。牛頓物理學中，先期以力的概念作為基礎概念，後期動量、動能的概念變得更基礎，因為後者可以帶來更簡潔的系統形式，更容易派生出其它需要用到的概念。
公理系統的相容性指從公理出發所能證明的任意二個命題不能矛盾，這是最根本的。
從後世的標準看，歐幾裡德的《幾何原本》在滿足上述的要求上是不夠嚴謹的。歐幾裡德引入了一些未經定義的概念，不自覺應用了圖形的直觀，歐幾裡德在《幾何原本》裡的邏輯推理、證明也都是人腦的直接推算，同時代的邏輯學不足以支撐其中的邏輯應用。歷史上，歐幾裡德《幾何原本》第五公設是爭論的焦點：
「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交」
用與第五公設相矛盾的命題替代它，並未產生矛盾的系統，而是帶來了非歐幾裡德幾何，比如後來用於廣義相對論的黎曼幾何。非歐幾何的出現否定公理系統公理可以不證自明，那麼公理系統的真理性如何保障？
歐幾裡德的《幾何原本》被認為是關於空間關係的理論，「點」、「線」、「面」被認為是實際空間對象的抽象，公理是「點」、「線」、「面」基本關係的描寫，後續定義進一步派生空間對象，定理則是各空間對象具體關係的斷言。二十世紀德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862.1-1943.2）認為公理應脫離對直觀的依賴，讓對象、關係成為單純的符號，並與形式化的謂詞邏輯結合，以符號的表達式表示公理，把後繼的證明變成純形式上的轉換，也就是所說的「形式化」。按照希爾伯特的想法，所有的數學分支在其樸素公理化的基礎上，還應該形成一個形式化的公理系統，這個形式的公理系統也稱為樸素公理系統的元語言。數學的真理就歸為形式公理系統的相容性，即理論上無矛盾。希爾伯特按形式化要求用自然語言具體重構了歐幾裡德幾何，希爾伯特的幾何公理系統分五組，每組一條或多條公理不等。同時代的其它數學家也對其它數學分支的基礎進行了形式化、公理化處理，包括義大利數學家皮亞諾（peano,1858.8-1932.4）所建立的算術公理系統，這是完全專用符號的系統。
奧地利裔美國數學家哥德爾（Kurt Gdel,1906.4-1978.1）於1931年提出了不完備定理，證明：任何一個公理系統，只要包括了算術公理的描述，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明為真也不能證偽的命題。哥德爾不完備定理說明希爾伯特所尋求的數學可靠基礎是不存在的，這是個影響深遠的結論。
一個實際的領域，公理化系統可以從二個方向來看待。一個方向指向邏輯的構建，強調基礎的清晰與體系的可靠，這將走向純粹的形式化：符號成為自足的系統。符號化與形式化不是多數人喜歡的形式，可符號化、形式化仍是一個重要的事實，它說明認知成熟到可以外化為符號系統來完全地呈現，這個符號系統可以從初始的符號與表達式，遵循規則機械、半機械的形式轉換推導證明更多的符號表達式，或者至少證明可以純符號形式地去理解。這改變了內容與形式的關係，在樸素的公理化階段，符號、表達式被認為直接間接總有著外部的起源，到了形式化的公理系統，事情可以反過來看，一個領域的事實是對符號系統的一個實際解釋，同一個形式系統可以有多個領域事實來解釋，當然真實的情形中這種情況很偶然的。形式的獨立性，也說明可以把符號方式從語言的定義裡拆解出來，單獨作為一個主題。
另一個方向公理化系統是實際認識的建構。至少公理化的第一個版本，是在大量事實積累，分析歸納、局部總結等基礎上形成的。歐幾裡德《幾何原本》是古希臘時期，以及之前各地幾何知識的集大成。牛頓《自然哲學的數學原理》是更早克卜勒、伽利略、笛卡爾等思想的提升。歐幾裡德與牛頓的天才之處在於做到了用一組公理把所有的內容統一成一個足夠可信的體系。建立初始概念與公理後，演繹的過程經濟被簡單地描述成機械、半機械的推導，實際的過程是一步步地積累得來的，成書於公元前三世紀的《幾何原本》，其第47命題在中國稱為勾股定理，在公元前六世紀就由畢達哥拉斯學派證明過，因此又稱為畢達哥拉斯定理，其它的很多定理，也是同樣的歷史。從認知建構來說，多數人能接受的是那種樸素的公理系統。
（作者（LQS）註：連續地閱讀會發現，系列的文章不是對各個問題的解釋，而是新的理解視角）