數學大廈的基石——公理化

2020-12-12 究盡數學

在數學科學的理論體系中，有些不定義的概念(原詞)和不證明的命題(公理)，正是從這些原詞和公理出發堆起了龐大的體系。比如數學中的"集合"、「點」、「線」、「面」等都是原詞。「點」沒有大小，無限可分；但其嚴格的定義無法給出，很難說清楚點究竟是什麼？同樣構成公理體系的公理，也沒有證明；卻被用作其他命題證明的邏輯基礎。比如公理：兩點決定一條直線。

基於不同的研究對象、討論範疇，數學發展出了不同的公理體系：幾何公理體系發展早期是歐幾裡得的古典公理辦法，直到20世紀由德國數學家希爾伯特提出一個比較完善的公理體系(希爾伯特公理體系)；以皮亞諾命名的自然數公理體系；排除羅素悖論，解決第三次數學危機而產生的集合論公理系統等等。

在公理化的浪潮中，出現了線性空間的公理化體系，在這樣的公理系統中，很多的範疇對象都具有線性空間的共性，於是討論它們的思路統一為：基——坐標——維數——同構。再在線性空間的基礎上，通過用公理化的方法定義內積，引入歐氏空間。

在19世紀末到20世紀初，由於解代數方程而引進的域及群的概念，逐步產生了抽象群的概念：一個帶有運算的非空集合及四條公理組成，即封閉性、運算滿足結合律、有單位元素及逆元素存在。

基於1914年至1922年間拓撲空間得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間、巴拿赫空間也隨之完成公理化，成為基礎數學研究的出發點。

20世紀初受物理學的刺激，更多人開始關注隨機過程，比如柯爾莫哥洛夫、馬爾科夫等人；以及20世紀初完成了勒貝格測度與積分理論及後續發展出抽象測度和積分理論，成為概率公理體系建立的基石。

相關焦點

  • 公理化思維——結論正確的思考模式
    五條公理+五條公設+23個定義（對什麼叫點、線、面等做出定義），運用演繹推理（大前提正確+小前提正確=結論正確）的方法推出48條定理和167個命題，建構了整個平面幾何的大廈。由不證自明的公理+演繹推理 推出結論，是結果保真的一種思考方式，就是我們今天說的公理化思維。
  • 科學簡史:古希臘的物理「公理化」體系
    ，西方哲學之父的「泰勒斯」，萬物皆數的畢達哥拉斯等都對數學的發展有著重要的貢獻。這句話反應了他證明「槓桿原理」之後的豪情萬丈，這是公理化方法在物理學領域的成功實踐。中國人對槓桿原理的發現是基於歸納法，是從實踐經驗中總結而來的。而阿基米德是通過數學計算出來的。經驗具有不確定性，無法形成公理，數學是具有公理性質的，只有前提是對的，推論是合乎邏輯的，那麼結果必然是正確的。
  • 他的瘋狂,卻意外奠定了現代數學的基石
    因此克羅內克將康託的結果看成是危險的數學存在。克羅內克不能容忍數學被康託帶領進入瘋人院，他狂熱地認定自己堅持的真理才是數學的正道，因此動用他所有的權勢開始對康託展開反攻。康託論文的稿件被他長期壓制扣發，他在公開場合批判康託是神經病，是科學的騙子和叛徒，其思想不啻為"近十年來最具獸性的見解"。
  • 科學簡史:古希臘的數學「公理化」體系
    通過探討事物數量間的關係，最初的算術發展成了「代數」，研究事物形體關係的數學發展出「幾何」。中國古代學術，以算術見長，在代數領域貢獻突出；古希臘則偏重於幾何學的研究和應用。這裡面顯然蘊含了「功利性」和「非功利性」的主觀抉擇，即是中國古代會通過等腰三角形計算金字塔的高度，在當時也是被看作是毫無意義的。
  • 《自然哲學的數學原理》的定義和公理化體系分析
    在這樣的操作之下，那些原本零零散散的幾何命題就被有機的結合在了一起，只要那5個基本公設是牢靠的，那麼後面的那麼多命題也是絕對牢靠的，歐幾裡得建立的這種科學體系就叫公理化體系。公理化體系顧名思義，就是從幾個最基本顯而易見的公理出發，一步步最終推導出整個科學體系的一種方法。
  • 數學公理化思想:用儘可能少的公理,演繹出儘可能多的命題
    數學之所以被稱為嚴謹科學的典範，是因為數學首先成功的公理化。在數學的理論體系中，列出一些不加定義的概念和不加證明的公理，再從這些原詞概念和公理的基礎上出發，以推演規則為工具，進而演繹出一個龐大的體系；而在公理系統中，一方面希望能推出更多的新概念及真命題，最好能把某一範圍或某系統內的新概念及真命題全部推出來，同時要求作為出發點的公理要儘可能的少；另一方面，要求從原概念和公理出發，不能推出邏輯矛盾。
  • 5.3公理化的系統
    按照希爾伯特的想法，所有的數學分支在其樸素公理化的基礎上，還應該形成一個形式化的公理系統，這個形式的公理系統也稱為樸素公理系統的元語言。數學的真理就歸為形式公理系統的相容性，即理論上無矛盾。希爾伯特按形式化要求用自然語言具體重構了歐幾裡德幾何，希爾伯特的幾何公理系統分五組，每組一條或多條公理不等。
  • 數學大廈基石的奠定,由「精神抑鬱」的病人奠定,致敬康託爾
    基於此，他創造的集合論成為拓撲學等很多現代學科的基礎，現在看來，集合論在數學中的影響廣泛而深刻，妥妥的數學大廈的基石。希爾伯特形容康託爾的工作為數學思想中最驚人的成果，純智力領域中人類活動最完美的實現。這屬實是極高的評價。康託爾的一位美國研究者約瑟夫·W·道本評價，康託爾是一個敢於嘗試的人，從一個封閉的數學世界闖入一個奇異的複雜的、無限的數學世界。
  • 科學簡史:古希臘的天文「公理化」體系
    #科學史#科學伊始，一些閒人為了追求「確定性」，發展出來一套「公理化當人類活動超越這個氛圍之後，已知的公理化體系就會出現偏差，於是不得不發展出新的體系來解釋面臨的新問題。古希臘人很早就完備了數學的公理化體系，並把數學作為認識世界最重要的工具。在畢達哥拉斯的描述中，幾何中最完美的是球體，所以大地、天體乃至整個宇宙都應該是個球，否則就不完美了。亞里斯多德從運動學理論出發，論證了大地確實是個球體。
  • 史上三大數學危機——你知道嗎?
    由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。小小的根號2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。
  • 高一數學入門數學概念:集合論的誕生
    （許興華數學/選編）【導讀】初中畢業升入高一年級的全國同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中佔據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。
  • 現代數學史上著名的三次數學危機
    由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。小小的根號2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。
  • 從「無窮」到「集合」,這位數學家以一己之力打造了數學大廈基礎
    牛頓和萊布尼茲等數學家開始嘗試把「無窮小量」引進數學，構成所謂的「無窮小演算」——近代最偉大的數學理論「微積分」誕生了。在「積分法」裡，人們將「無窮多個無窮小量」加在一起，而在「微分法」裡，人們則將兩個「無窮小量」相除。
  • 認識邏輯思考力的重要性和工作生活的內在源動力——公理化思維
    是邏輯上的自洽性，是思維思想上打通，邏輯脈絡得通暢起來，即我們說的公理化方法，從一個點能夠一點點推導出一個面。就像一棵樹一樣，從一粒種子出發，生根，然後發芽，然後長出主幹，然後抽條，然後長葉子開花碩果纍纍，從一個點，一粒種子到了一個有主幹枝葉的繁茂的一顆大樹，這樣一點點推導生發出來的。
  • 數學史上的第三次數學危機
    二、羅素悖論及第三次數學危機數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高採烈地宣稱：「……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」羅素指出合集論事有漏洞的，消息一出震驚數學界！他提出了一個關於合集的悖論：設集合S是由一切不屬於自身的集合所組成，即「S={x|x∉x}」。那麼問題是：S屬於S是否成立？
  • 數學史上的三次數學危機
    的三次數學危機數學史上的三次數學危機從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便是數學中也有大大小小的許多矛盾，例如正與負在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
  • 數學思維方法概述 ---數學思維方法與數學哲學
    數學思維方法的形成與發展往往與數學家，哲學家對數學整體的哲學思辨相關，對數學不同的哲學思考會形成對數學不同的思維模式。同時，對數學不同的哲學理解也對數學中不同的方法給予不同思維層面的解釋。因此可以說，數學思維方法與數學哲學是密切相關的 。同時，我們也可以發現，數學思維方法與數學史，數學教育的觀念也有著密切的關聯。
  • 數學的深淵
    本文轉載自【微信公眾號：量子學派，ID:quantumschool】,經微信公眾號授權轉載，如需轉載原文作者聯繫23個人類最美公式：凝望數學的「深淵」這是很多人對數學的認知。數學之艱，讓很多人極其敬畏。易理之美，又有很多人十分嚮往。
  • 他提出的這個悖論引發了第三次數學危機,來看看到底是怎麼回事
    第二次數學危機徹底解決之後，再經過近200年的發展，科學家們普遍認為系統而嚴密的「科學大廈」已經基本建立。然而，人們沒有注意到的是，作為「現代數學」基礎的「集合論」還隱藏著很多的問題沒有解決。集合論是「現代數學」的基礎，幾乎每一個分支都是建立在「集合論」的基礎之上的。「集合論」的誕生之初，在「分析的嚴格化」思想的指導下，徹底地解決了由「微積分」引發的第二次數學危機。在那一次危機中，「集合論」成為了「近代數學大廈」的基礎。
  • 三次數學危機歷程中矛盾對於數學發展史的推動
    一般來講，危機作為一種不解決就無法更近一步的激烈矛盾，從哲學上來看，是無處不在的、不可避免的，即使是說一不二力求精確著稱的數學也難脫干係。自然而然，這既是對已有數學的危機與挑戰，也是象牙塔中新探索的契機與動力，也正是這幾場學術上的危機從哲學的矛盾角度客觀上大跨步地推動了數學史的進步，為這座大廈的落成奠定了堅實的基礎。