史上三大數學危機——你知道嗎?

2021-02-18 算法與數學之美

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。小小的根號2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這就在當時直接導致了人們認識上的危機！

希伯斯

希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。


出現

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲共同發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。

柯西

解決

經過柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善，從而使數學大廈變得更加輝煌美麗！


出現

十九世紀下半葉，康託爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高採烈地宣稱：「……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

康託爾

可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素

羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕鬆摧毀集合理論！

解決排除悖論

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康託爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康託爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康託爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。

策梅羅

公理化集合系統

成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

∑編輯 | Gemini

來源| 高中數學任禕老師

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  • 數學史上的「三大危機」,除了無理數危機你還知道哪一個?
    但是如果說科學改變世界的話，那數學就是改變科學的存在了。但是數千年的文明史，數學的發展並不是一帆風順的，無數的天才數學家為這門偉大的學科添磚加瓦，在這期間發生了三次重大的數學危機。第一次數學危機：無理數危機無理數危機發生在2400多年前的古希臘時期，當時的畢達哥拉斯學派在數學界執牛耳。
  • 數學史上三大危機
    在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
  • 數學史上的三次數學危機，你都知道嗎？
    從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。
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  • 數學史上的3次數學危機
    在數學的發展史上，大大小小的矛盾出現過很多，但很少能威脅到整個數學基礎理論，甚至引起危機。即便是千百年來人們對歐幾裡得幾何公理第五公設的疑惑，也不曾造成數學上的危機，且最終成就了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。數學史上共出現三次數學危機，每次都是由於悖論的發現而深刻和廣泛的影響了數學基礎。
  • 數學史上的三次數學危機
    的三次數學危機數學史上的三次數學危機從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便是數學中也有大大小小的許多矛盾，例如正與負在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
  • 數學史上的三次大危機,你都了解嗎?
    寫在前面矛盾是無處不在的，數學正是由化解矛盾而發展起來的，這其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。危機數學史上貫穿了矛盾，同時也貫穿著人們對於矛盾的討論。當一個矛盾激化到可以影響整個數學基礎的時候，就會產生數學危機。而對於這種危機的化解，往往就是數學史上的新發展，可以將原本是數學拓展到更加深層次的領域上去。
  • [趣味數學]數學史上的三次危機
    這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。　　到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾裡得《原本》第５卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。
  • 數學史上的三大危機
    數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高採烈地宣稱：「……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」可是，好景不長。
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  • 數學史上的第三次數學危機
    這個悖論引發了第三次數學危機！一、前兩次危機回顧第一次數學危機顛覆了畢達哥拉斯「萬物皆數」的哲學理念而發現無理數；第二次數學危機是萊布尼茨和牛頓的微積分工具所致。第三次數學危機就此完美解決。 四、三次數學危機的意義 歷史上的三次數學危機,給人們帶來了極大的麻煩,危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷,科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段,所以悖論是科學發展的產物,又是科學發展源泉之一.第一次數學危機使人們發現無理數
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    上一次，我們談了第二次數學危機，今天我們繼續來談一談第三次數學危機——羅素悖論。
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    第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展，使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命題目1：證明，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命.第二次數學危機危機產生人物1：牛頓(Isaac Newton,1643―1727)人物2：萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日)
  • 3分鐘了解數學史上的第三次數學危機
    在二十世紀以前，數學經歷了極大地兩次考驗。第一個是不可度量的發現，第二個就是微積分基礎的爭論。數學史上的第二次數學危機已經基本解決。嚴格的來說，微積分理論是以實數理論為基礎的，而嚴格的微積分理論又是以集合論為基礎的。即使集合論的相容性尚未證明，但很多人認為解決它這只是時間長短的問題。1900年在巴黎舉行的數學家大會上龐加萊這樣說道：今天我們可以宣稱，完全的嚴格性已經完全達到了！
  • 第三次數學危機
    康託爾曾經證明過不存在最大的基數，羅素對此有些疑惑，認為以世界上所有的集合為元素構成的集合應該是最大的（因而具有最大基數），這樣他就發覺其中有些矛盾，開始的時候他也覺得這件事也許沒什麼大不了的，也許是在什麼地方繞住了，但是他左思右想仍無法繞過來，結果產生了著名的羅素悖論，引起了關於數學基礎的新的爭論，從而造成了數學史上更為嚴重的關於數學基礎的第三次危機。
  • √2與第一次數學危機
    √２與第一次數學危機每一次危機都是進步，數學如此，人類如此！第一個無理數啥，數學發展史上還有危機？什麼危機，難道是沒有人學數學了？當然不是，而是數學發展在當時遇到了挑戰，當時人們的認知水平沒有達到而引起的衝擊。
  • 羅素悖論後,下一次的數學危機在哪兒
    以前我們有一期節目講到，第一次數學危機，實際上是人類在研究數學途中發現了一個矛盾。用現在的話說就是根號二是無理數，但是人類還不知道有無理數這玩意，所以就產生了一個矛盾。在數學發展史上還有另外一件非常有意思的，並且也是劃時代的事情，就是羅素悖論這個羅素悖論最早是在1901年羅素提出的。羅素是一個大科學家，他最重要的成就是數理邏輯方面。這個數理邏輯學用人話講就是吵架，抬槓，這麼一個學科。
  • 數學上的三次危機
    在數學發展史中，始終貫穿著這些矛盾的鬥爭與解決，而在矛盾激化到涉及整個數學的根本基礎時，就會產生數學危機。所謂的數學危機，指的就是數學公理在定義上的不完全或者是不夠嚴謹，導致了在理性的推論下，得到錯誤結論的情況，不過所謂機遇與挑戰並存，數學家喜歡機遇，但也同時不畏挑戰，要想解決這些危機，就要對數學基礎理論進行修正和補充，而這樣的努力，也往往給數學帶來新內容。
  • 數學的三次危機——第一次數學危機
    數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。
  • 他的質疑引發了 2000 多年的數學危機,差點將數學扼殺在搖籃
    希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生，而這句話也被稱為「畢達哥拉斯悖論」。√2這類不可度量的數在當時被他們叫做「阿洛貢」，這個詞的含義是「不可說」。上帝創造的和諧的宇宙竟然出現了無法解釋的破綻，此事應絕對保密，以免他因事情暴露而把憤怒發洩到人類身上。