比較簡單的塗色問題

三年級加乘法原理：如下圖：最多使用4種顏色，相鄰區域不能使用相同顏色，有多少種塗色辦法？

塗色

這類題有兩種思路解答，但適用於不同的情況。首先換一道簡單的題目，來說明簡單的思路。例一：下圖最多使用5種顏色，求塗色辦法數量（本篇中所有題目均要求相鄰區域不能使用相同顏色）

例一

從任意格子開始，例如a，有5種選擇；b不能使用和a相同的顏色，有4種選擇；c有3種；d只和c相鄰，所以反而有4種，答案是5x4x3x4=240。

例二：下圖最多5種顏色：

例二

a5，b4，c3，d和b、c相鄰，只有3種選擇，答案是5x4x3x3=180。

例三：下圖最多4種顏色：

例三

和前兩道例題的區別在於，選擇後面的格子顏色的時候，需要分組討論前面格子顏色是否相同的狀況。我嘗試著以分組討論的辦法解決這道題，成功把自己繞暈了，無論選擇什麼樣的順序。所以，就不展示分組討論的辦法了，這裡需要採用新的辦法。

此處有abcdef共6個格子，共4種顏色，拆分成1+1+2+2=6。

總和6是格子數量；

等號前面有4個數字，每個數字代表一種顏色；

2代表有2個格子要選擇同一種顏色，兩個2表示還有2個格子也要選擇同一種顏色。但不能和第一個2選擇的顏色相同，因為每個數字代表一種顏色。

可以選擇相同顏色的格子有：be、bd、ce、cf、df。等式中有兩個2，分組：

bd（假設為紅色），ce（假設為綠色，反正不能為紅色）

bd，cf

be，cf

be，df

ce，df

以上共5種選擇，以其中一種選擇為例（bd，ce），把bd視為一個格子，ce視為一個格子，現在我們有a，bd，ce，f四個（不相干的）格子，填入四種顏色。a格子有4種顏色選擇，bd有3種，ce有2種，f只有1種，即P(4,4)=4x3x2x1=24。

這個是（bd、ce）的數量，類似的我們有5種選擇，即5xP(4,4)=120。

除了6=1+1+2+2，還有

6=1+1+1+3，可是圖形中沒有3個不相鄰的格子，即沒有3個格子可以選擇同一種顏色；

6=2+2+2，等式中只有3個數字，代表只使用了3種顏色，可是我們沒有3對不相鄰的格子。

我嘗試著總結，什麼情況不適合第一種思路，沒能成功。網上對塗色問題一般分為區域塗色（平面）、點塗色、線段塗色、面塗色（立體），本篇討論的是平面上的區域塗色。區域塗色問題其實還可以按照圖形的結構，分為直線結構、星形結構、環形結構、全連通結構等等（當然有複合的結構）。我是放棄了，看有沒有數學大神搞得清，私信我。

例四：下圖最多4種顏色：

例四

abcde總共5個格子，其中ad和bc可以相同，沒有其他可以相同的了。

5=1+1+1+2：以ad為一個格子，ad，b，c，e四個格子四種顏色，P(4,4)=24；另外還有bc同色的情況。共計2xP(4,4)=48；

5=1+2+2：等式中兩組2，只有（ad，bc）的組合，ad，bc，e三個格子四種顏色，P(4,3)=24；

兩種情況相加，共計24+48=72種。

這一道是2003年全國高考題目。

標題《簡單的塗色問題》指的是，塗色問題中簡單的題目，不是指這幾道題簡單