上一篇我們提到了鋁鈧合金的優越性，以及鋁鈧合金的研究價值，但是並沒有具體說到用的方法，這一篇我們將從理論上講計算態密度所用的理論，態密度泛函數理論。
什麼是態密度？
態密度是固體物理中一個比較重要而又抽象的概念。可以用N(E)代表它，可以用數學表達式N(E)= ΔZ/ΔE表示態密度，其中ΔZ指的是量子態數差，ΔE指的是能量之差。所以說態密度是單位頻率內的模數，量子態數與能量的關係體現的是固體的電子能態結構。
對於態密度的測量，在很多時候對實驗設備和技術人員的要求都是非常高的，所以在實驗室測量晶體的態密度需要比較高的成本。但是隨著計算機軟體的發展，分子模擬軟體Materials studio發展了很多用途，比如本論文所進行的態密度計算，除此之外，也涉及到能帶結構的分析等諸多方面。
態密度如何測？
在教育上，利用該軟體可以很明確地給學生展現不同物質的結構，而且3D結構更加形象明了，可以更好的讓學生知道晶列、晶向等抽象的概念，這給固體物理等相關科目的教學帶來極大的便利。
我們具體可以這樣做，先是進行模型建立，然後進行結構優化，再是有機的結合密度泛函數理論，最後計算態密度，並且進行結果的相關分析和討論。這在當前的模擬實驗之中是比較先進的，從而被廣泛運用於材料科學的研究之中。
密度泛函數理論
密度泛函數理論，它按照的是量子力學的原理和方法，用新的方程和電子密度函數取代之前的Schrodinger方程，並進行相關的近似處理來進行研究，從而可以使之前的原理得到簡化，更加適用到多電子體系的結構分析當中去。
沒有取代的時候，多電子體系有3n個變量（n代表電子個數），相比於取代過後的僅包含3個變量而言，電子密度函數更加的簡便而又簡潔，更加有利於模擬和計算。
正是因為這種優點，使得該理論被大量的運用到了物理材料、化學材料等領域研究中去。密度泛函數理論的創始人是Hohenberg和Kohn，在Levy[5]等人對該理論的壯大和發展之下，該理論成為了一個完整的體系。
在多電子體系中，波函數的薛丁格方程如下2.1式所示，在不考慮外場的作用的情況之下，哈密頓量形如2.2式所示。電子間的相互作用，表達式如2.3式所示； 離子實之間的相互作用，表達式如2.4式所示；電子和離子實間的相互作用，表達式如2.5式所示。
絕熱近似認為[6]：原子核質量和原子質量差別不大，可以看作近似相等；在電子繞核運動時，原子核被視為靜止不動。所以，把2.3式、2.4式和2.5式分別帶入2. 2式後得到一個式子，對該式子進行分離就可以得到單獨的電子運動方程式如2. 6式所示和原子核運動方程式如2.7式所示。又把2.3式、2.4式和2.5式分別帶2.2式時，得到的式子仍然形如2.1式。
在多電子體系當中，哈密頓量裡面存在不可分離的因子，所以薛丁格方程將求解不出來，因此需要做近似處理，有兩種近似處理的方式，分別是Kohn–Sham方程[7]和Hartree–Fock方程[8]。
需要說明的是，Kohn–Sham方程和Hartree–Fock方程在形式上是相似的，處理的方法也近於相同。Kohn–Sham方程的表達式如2. 8式所示。值得注意的是，Kohn–Sham單電子方程導出要求是非常嚴格的。
關於多電子體系問題是否可以求解及其結果是否精確，這都決定於交換關聯勢，如果表達式準確而又簡潔，那麼他的結果對於Kohn–Sham單電子方程來說才具有實際性的物理意義。對於交換關聯勢的近似處理，經常用到的有兩種方法，其中一個是局域密度近似（LDA），另外一個是廣義梯度近似（GGA）。
採用LDA來進行的近似處理可得出大多數材料的結果，不過對於稀土元素或者是稀有金屬來說得到的結果就會有相當大的誤差，這是因為稀土元素或者是稀有金屬的能量梯度變化比較大。
而對於GGA所進行的近似處理來說，則考慮了電荷密度的不均勻所帶來的影響，所以計算的精度將會變得更加精準，這也使得這種近似處理的方法運用得更加廣泛。
上述就是態密度泛函數理論，但是有了理論，還需要相應的方法才能計算態密度，而這裡選擇的是Materials studio中的CASTEP模塊，下一篇我們將會介紹CASTEP模塊。
參考文獻
[5]Levy M, Perdew H.Density-functional method in physics [M]. New York: Plenum, 1985.
[6]謝希德，陸棟.固體能帶理論[M].上海：復旦大學出版社，1998.
[7]Kohn W,Sham L J.Self-consistent equations including exchange and correlation effects[J].Physical Review A, 1965, 140(4A): A1133～A1138.
[8]Hohenberg P, Kohn W.Inhomogeneous electron gas[J].Physical Review B,1964,136: B864～B871.
文：鬥苗 2020.4.24