函數是數學中非常重要的章節，函數值域的求法也多種多樣，今天我們就介紹幾種求函數至於的方法。
1.直接觀察法
對於一些簡單函數，其值域可通過觀察得到。
例1.求函數y=1/(x-1)的值域。
解：∵x-1≠0,即x≠1.
∴1/(x-1)≠0
∴函數y=1/(x-1)的值域為(﹣∞,0)∪(0,﹢∞).
2.判別式法
例2.求函數y=(1+x+x^2)/(1+x^2)的值域。
解：將原函數化為關於x的一元二次方程，得：
(y-1)x^2+(y-1)x=0
(1)若y-1≠0，即y≠1時，x∈R
=(-)^2-4(y-1)(y-1)≥0
解得：1/2≤y≤3/2
(2)當y=1時，x=0
而1∈[1/2,3/2]
故函數y=(1+x+x^2)/(1+x^2)的值域為[1/2,3/2].
3.分離常數法
求y=(ax+c)/(x+b)這種類型的函數值域，應採用分離常數法，將函數化簡為y=d+m/(x+n)的形式。然後利用函數的單調性來求解函數的值域。
例3.求函數y=(3x+2)/(x-2)的值域。
解：∵y=(3x+2)/(x-2)
=[(3x-6)+8]/(x-2)
=3+8/(x-2)
∵8/(x-2)≠0,∴y≠3
∴函數y=(3x+2)/(x-2)的值域是{y|y∈R,且y≠3}。
4.配方法
遇到求解一般二次函數y=ax^2+bx+c的值域，應採用配方法，將函數化簡為y=m(x+n)^2+d的形式，從而輕易找出函數的最值，進而求得函數的值域。
例4.求函數y=-x^2-2x+3(-5≤x≦-2)的值域。
解：∵y=-x^2-2x+3
=-（x+1）^2+4,x∈[-5,-2]
∴其函數圖像應該是開口向下，頂點為（-1,4），在x∈[-5,-2]上對應的拋物線上的一段弧。
根據x∈[-5,-2]時的拋物線上升，則
當x=-5時，y取最小值為ymin=-12;
當x=-2時，y取最大值為ymax=3.
∴函數y=-x^2-2x+3(-5≤x≦-2)的值域為[-12,3].
5.換元法
例5.求函數y=x+√(2x-1)的值域。
分析：對於本題，若用上面的分離常數法或配方法來求解，過程繁雜，容易出錯，而且還不一定可以求結果，所以我們就要思考有沒有更簡單適用的方法。下面我們就用配方法進行求解。
解：設u=√(2x-1)(x≧1/2),
則x=(1+u^2)/2(u≧0),
∴y=(1+u^2)/2+u=(1+u)^2/2(u≧0).
由u≧0知(1+u)^2≧1
∴y≧1/2.
∴函數y=x+√(2x-1)的值域為[1/2,﹢∞）。
總結：求解帶根號的函數的值域，直接求解很難，所以遇到這樣的問題，我們要想到用一個字母來代替帶根號的式子。但是，在代換過程中，要注意根號下變量的取值範圍。