你的微積分入門了嗎?視頻相當精彩!

用「平方金字塔數」求拋物線弓形面積（視頻）-從初數到高數案例

我們可以不用微積分的知識，來說明下面這個有趣的性質：

作一條拋物線，AB是一條弦，過A作拋物線的切線，過B作拋物線對稱軸的平行線，切線與平行線交於點C，則拋物線與AB圍成的弓形面積，是△ABC面積的三分之一。

將AB，BC線段n等分，圖中顯示n=6的情形。設陰影部分三角形面積為1，則△ABM面積為1+3+5+7+9+11=6^2，△ABC面積為6*6^2=6^3。

此時紅色曲線圍成面積約為6×1+5×3+4×5+3×7+2×9+1×11

=6 + 11 + 15 + 18 + 20 + 21

=6+

6+5+

6+5+4+

6+5+4+3+

6+5+4+3+2

6+5+4+3+2+1

=6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2

 當n充分大時，紅色折線逼近拋物線，圍成面積就是拋物線弓形的面積，

拋物線弓形面積的計算，按現在教學內容屬於微積分，算是高等數學。但阿基米德也曾巧妙計算過，有興趣地可搜索阿基米德三角形。

阿基米德計算拋物線弓形面積，可看作是微積分的前期萌芽，被後世很多數學家所驚嘆。而本文所述的方式與阿基米德三角形有異曲同工之妙。

本文根據下面視頻改寫而成。我相信如果看我的文字還不明白，看看視頻就更清楚。

我一直希望將來有機會能用視頻方式講解數學，而不僅僅是用文字。只是目前條件還不成熟。

此案例也充分說明初等數學和高等數學之間並沒有鴻溝，是可以搭建橋梁的。

 

學習高等數學，對中學數學教學有何幫助？
這是很多師範生常有的疑惑。這個疑惑甚至等到他們走上工作崗位還未消除。
如果有師範生跑去問他的大學老師，老師可能會這麼回答：
深入才能淺出，居高才能臨下。
要給學生一杯水，教師必須有一桶水。
只有深刻掌握了數學的思想、方法，對數學本質認識清楚，才能高屋建瓴，胸有成竹。
學習了高等數學去教初等數學，遇到一些看似平凡的內容，你可以看出內在的不平凡，這叫舉輕若重。遇到一些在初等數學裡解釋不清的疑難問題，則可透視本質，輕鬆化解，這叫舉重若輕。
……
如果師範生追問：能否舉例說明？我怎麼感覺大學四年所學對將來的中學教學好像幫助不大，特別是偏微分方程、複變函數這些課程。
這時大學老師常常語塞，大多又會回到前面那些大道理：「居高臨下、深入淺出……」

大道理好講，具體細緻的工作不好做。
其實這個問題由來已久，也不只是困惑師範生和中學老師。這個問題也引起了很多專家學者的思考，他們也嘗試著回答這個問題。
F•克萊因曾提出一個名詞：雙重忘記，意思是進入大學學習高等數學忘記了中學數學，畢業後去當中學老師又忘記了高等數學。
雙重忘記，這是很多人的感受。進入大學學習，感覺不到大學數學和高中數學有什麼聯繫，好像是重新學習一個新東西，而不是在前面的基礎上提升。而走上中學教師的崗位之後，所學的高數知識又不大用得上。

F•克萊因為了解決這一問題，寫了《高觀點下的初等數學》，這已經成為數學教育研究領域的經典名著。
此後，類似著作不斷湧現，如張奠宙、鄒一心的《現代數學與中學數學》算得上代表性著作。若不糾結於書名，很多名家所寫的普及性著作都可以算作此類，如上海教育出版社的《初等數學論叢》，中國科技大學出版社的《數林外傳》等。

研究初等數學，是一個大課題。研究高等數學，又是一個大課題。將兩者綜合研究，涵蓋更廣，且絕不是兩者的簡單相加。對於這麼大的一個課題，也絕不是幾個人，發幾篇文章，出幾本書就能研究清楚的。需要不斷有人研究，向前推進。更何況，初等數學和高等數學的研究內容也在不斷變化著。
那如何研究初等數學和高等數學二者之間的關係呢？角度有很多。F•克萊因作為著名的數學家，由於自身深厚的數學功底，他選擇了居高臨下這個角度。這樣的研究角度可以讓人看清楚一些初等數學問題的背景，提高數學修養。但這樣寫也存在一些問題，譬如在某些問題上，作者所站高度過高，超出了一般讀者的接受能力；又如作者主要是作為數學家的身份在寫這個書，與中學數學的聯繫較少。
能否從初等數學出發，向高等數學走去呢？這當然也是可以考慮的一個研究角度。這也正是本書書名《從初等數學到高等數學》的來由。
從，表示出發點。到，表示希望前進的方向。

有讀者看了我這方面的幾篇文章，問：「為何你研究這麼淺，找的題目大多是初等數學能解決的，你為何不多找些初等數學解決不了的，這才能凸顯出高等數學的優勢。」
這是由於這位讀者對我的寫作定位不了解。我的立足點就是初等數學，希望向高等數學走去，但能走到哪一階段，不好說。如果是要找一些初等數學解決不了的問題，這太容易了，高等數學習題集裡比比皆是。但要找一些題目，可以從初等數學和高等數學兩個角度來思考，從而加深對數學的理解，這才是不容易的。

必須承認，與《高觀點下的初等數學》相比，《從初等數學到高等數學》在書名上弱了不少。這一方面是我學識有限，談不出什麼高觀點，就算想鼓足勇氣，做個虛假廣告，冒充高觀點，但也怕讀者質疑：憑什麼說你的觀點高，高在哪？獻醜不如藏拙，因此還是老實一點為好。另一方面，我也受到弗賴登塔爾的影響。
弗賴登塔爾強調：為什麼中學數學和大學數學之間缺口的彌補工作拖延了這麼久，至今仍未實現？隨著數學的社會重要性日益增長，溝通缺口的迫切要求也更強烈。今天我們若想實現F•克萊因的想法，去教「高觀點下的初等數學」，就必須從接近中學數學的較低水平做起。
這說明，高觀點和低起點並不是對立的。

關於初等數學和高等數學的界定，學術界一直沒有定論。
龔升先生認為：「將微積分稱之為高等數學是習慣上的說法，微積分在牛頓時代自然是高等的，現在看來，只能說是數學的初步知識。」
單墫先生表示：「其實研究本身並無高等、初等的分別。得到高深的結論是新發現，解決初等的問題同樣是新發現，都是人類向未知領域的邁進。而且很多人們耳熟能詳的大問題，如費馬大定理，如哥德巴赫問題，論起它們的出身，無不屬於初等數學。」
而在本書中，則認為使用了導數、行列式這些知識就算是高等數學了，雖然這些知識在某些地區的中學教材中已經出現。

我從讀大學起就研究這一問題，主要是從以下幾個角度入手：
一、對照初高中教材，查看每一個知識點，想想用高等數學知識怎麼看待；
二、對照大學教材，查看每一個知識點，想想如何與中學數學知識聯繫；
三、想想哪些中學知識是大學裡用得比較多，初等數學起到了什麼樣的基礎作用；
四、在解題中學習理解數學知識。找一些題目，分別用初數高數兩個視角開看，有的還給出多種解法進行對比。
還有一些著眼點，一散開，比最初想像的篇幅大很多，所以最後決定先將精力集中在微積分和線性代數。將來若有機會，再考慮出版續集，甚至是一個系列叢書。

我雖有這麼宏偉的設想，但我也清楚，自己不是寫這書的最佳人選。我一不在中學教書，二不教高等數學，屬於兩不靠。我認識一些對中學數學和大學數學都有研究的朋友，也曾「慫恿」他們來寫這方面的書籍，因為我覺得他們能比我做得更好，但他們有的說忙，有的則過於自謙。
說實話，找他們多了心裡也煩。蜀鄙有二僧，說起去南海，當然富和尚更有優勢，但最終卻是窮和尚先去了。求人不如求己，自己動手，豐衣足食。我嘗試著做這個工作，也算對大學時代苦苦思考的這一問題作個交代，也希望給還在思考這個問題的朋友一些啟發。

我曾經將本書的部分章節發表在新浪博客上，得到讀者的鼓勵，他們都期待著本書早日出版，特別是彭翕成讀者QQ群（306162497）裡的朋友。他們說：早點出版，即使並不是那麼完美，你這麼用心做這個事情，相當不容易了。相信您這本書的出版，必將帶動這個課題的研究，以及相關書籍的出版。

安慰的話，是不大可靠的，我也一向不信拋磚引玉這個說法。不然可做個實驗，別人拋個磚，你真的願意拋個玉麼？玉要出來，是自己想出來，和前面的磚，關係不大。

只能說，寫這個書，我盡力了，真的是集腋成裘。圖書館10多排微積分、線性代數習題集都快被我翻遍了。因為我固執地認為：「居高臨下、深入淺出」這樣的大道理當然是沒有錯的，但「居高臨下、深入淺出」如何操作，卻少有人提，語焉不詳。要想真的說服人，還得要一個個具體的案例。目前已有的好案例還不多，很多書籍上都是抄來抄去，可恭維為經典案例長盛不衰，也可譏笑為老生常談毫無新意，所以很有必要扎紮實實作一些案例整理和創新研究。

本書假定讀者群：數學教育方向的師範生、剛進入大學對高等數學學習不適應，希望藉助初等數學基礎研究高等數學的大學生、學有餘力特別是希望參加自主招生的高中生、大中學數學老師、以及廣大的數學教育研究者、數學解題研究者。
如果本書將來某一天能成為師範生用的教材，或是中學老師進修的講義，我將感到無比高興。
我的老師張景中先生多次語重心長地和我說：你要是懂一點微積分就好了，那麼你可以做更深入一點的研究。可見在張師看來，我是一點微積分都不懂的。現在卻偏偏出版了這樣一本書，寫得如何，只能由讀者來評判了。歡迎讀者批評指正。
本書初稿由楊春波老師校對，使之得到進一步的優化，在此表示感謝。  

 

【目錄】
前言(ⅰ)

1一題多解架構初等、高等數學橋梁(1)

1.1代數(2)

1.2幾何(11)

1.3三角(21)

1.4不等式(31)

1.5雜題(49)

2初等數學問題高等數學解答(54)

2.1代數(54)

2.2幾何(55)

2.3三角(76)

2.4不等式(79)

2.5雜題(80)

3不等式與函數(86)

3.1不等式篇(86)

3.1.1均值不等式的引入和證明(86)

3.1.2從課本上的簡單不等式談起——從初等數學到高等數學(87)

3.1.3小學題？中學題？大學題？(89)

3.1.4解讀神證明(89)

3.1.5也說Nesbitt不等式(94)

3.1.6均值不等式的隔離(96)

3.1.7答正切函數不等式猜想(97)

3.1.8一個對數不等式的五種證法(99)

3.1.9變式教學與數學背景(101)

3.1.10三角不等式的證明——從用導數到不用導數(105)

3.1.11高等數學思想指導完善初等數學錯漏(108)

3.2函數篇(111)

3.2.1從常係數到變係數——從羅增儒教授的無奈談起(111)

3.2.2以康託函數為背景的函數題(113)

3.2.3三次方程判別式問題兩例(117)

3.2.4三次方程和韋達定理(121)

3.2.5洛必達法則及其替代品(122)

3.2.6十五歲的圖靈如何推導級數形式的反正切公式(123)

3.2.7從f(x+y)=f(x)+f(y)說開去(124)

3.2.8對開方迭代式的認識過程(126)

4線性代數(128)

4.1線性組合和線性無關(128)

4.1.1漫談線性組合(128)

4.1.2已知根式解尋求原方程(131)

4.2行列式解題(134)

4.2.1行列式解代數問題舉例(134)

4.2.2行列式與面積(138)

4.2.3從「經過已知三點的一元二次函數」談起(141)

4.2.4圓方程、三角形五心、圓冪定理(145)

4.2.5海倫公式與託勒密定理的行列式統一公式(150)

4.2.6行列式與射影定理(152)

4.2.7行列式解幾何題舉例 (156)

5雜篇(165)

5.1認識的深入(165)

5.1.1不一樣的加法和乘法(165)

5.1.2從乘法是加法的簡便運算談起(166)

5.1.3漫談1+2+3+4+…+n(167)

5.1.4向量 (170)

5.1.5結構與同構(173)

5.1.6什麼是距離(175)

5.1.7絕對值多種定義以及分段函數定義缺陷(179)

5.1.8無處不在的一一對應(180)

5.1.9一定是斐波那契數列嗎？(183)

5.2初等數學、高等數學面面觀(186)

5.2.1特殊與一般——《吉米多維奇數學分析習題集》一題(186)

5.2.2談談循環論證(187)

5.2.3根式方程有理化(191)

5.2.4包絡線與賦范空間的一點小應用(194)

5.2.5學貴有疑——《數學解題的特殊方法》一題(197)

5.2.6證明sin2x+cos2x=1——《陶哲軒實分析》一題(198)

5.2.7平方差公式的三角擴展(200)

5.2.8從代數恆等式到三角恆等式(203)

5.2.9例證法：從代數式到三角式(207)

5.2.10勾股定理的三維推廣(212)

5.2.11一道多情形幾何題的多種證明(214)

5.2.12初等、高等數學不同視角一題多解更顯風採(219)

5.2.13你也可以做幻方(223)

5.2.14劍橋大學的一道經典名題(225)

5.2.15從高考題談迭代(227)

5.2.16微積分新概念的教學腳步何妨慢一點(229)

5.2.17高等數學的「敗筆」(232)

5.2.18不好的高等數學解法舉例(234)

5.2.19陳省身沒做出來的數學題(238)

5.2.20相信付出才有回報(239)

參考文獻(242)

如想看一些樣張，可百度「彭翕成 初等數學 高等數學」

作者簡介

彭翕成，工作於華中師範大學，主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及。

多次參與國家重大課題的研究並獲獎；參與編寫湘教版數學教材、《十萬個為什麼》等。

發表文章兩百餘篇。曾在《數學通訊》、《中學數學》、《中學生數理化》、《新高考》、《科技導報》等刊物開設專欄，其中被《中學數學》評價為「數學教育領域年輕一輩的代表性人物」。

著作十餘部，主要有《數學哲學》、《繞來繞去的向量法》、《仁者無敵面積法》、《動態幾何教程》、《數學教育技術》、《課本上學不到的數學》、《師從張景中》、《向量、複數與質點》等。

熱衷於數學科普寫作，由淺入深，娓娓道來，又能平中見奇，展現給人新的視角，其博文在網絡上影響甚大，讀者眾多。

博客：http://blog.sina.com.cn/pxc417  彭翕成讀者QQ群：306162497

內容簡介

本書是希望在中學數學和高等數學之間搭一座橋梁。以中學數學為起點，逐步展示高等數學的基本思想和方法，便於大學新生快速適應高度抽象的高等數學。反過來，如何把握高等數學的高觀點，更好服務於中學數學的教與學。

本書用數學分析、線形代數和高等幾何等現代數學的思想方法解釋和理解中學數學，力求用通俗易懂的語言，深入淺出地揭示現代數學的思想方法，找出現代數學與中學數學的結合點，從高觀點來引領初等數學，指導中學數學教學。

本書案例翔實，思想新穎，方法簡明。可啟迪讀者的思維，開闊讀者的視野，增強讀者提出問題、分析問題與解決問題的能力，適合高中學生以及教師、師範生，以及數學教育研究者參考。

長按二維碼，關注彭翕成講數學公眾號。

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